Question

（本小題滿分13分）
已知數(shù)列滿足：，
（I）                   求得值；
（II）                 設(shè)，試求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（III）    對任意的正整數(shù)，試討論與的大小關(guān)系。

Answer 1

（Ⅰ）5，5，8（Ⅱ）（III）

（Ⅰ）∵，，，，
∴；；.   ………………3分
（Ⅱ）由題設(shè)，對于任意的正整數(shù)，都有：，
∴.∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
∴.       …………………………………………………………7分
（Ⅲ）對于任意的正整數(shù)，
當(dāng)或時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.      ……………………………………8分
證明如下：
首先，由可知時(shí)，；
其次，對于任意的正整數(shù)，
時(shí)，；
…………………9分
時(shí)，

所以，.                                              …………………10分
時(shí)，

事實(shí)上，我們可以證明：對于任意正整數(shù)，（*）（證明見后），所以，此時(shí)，.
綜上可知：結(jié)論得證.                                                             …………………12分
對于任意正整數(shù)，（*）的證明如下：
1）當(dāng)（）時(shí)，
，
滿足（＊）式。
2）當(dāng)時(shí)，，滿足（＊）式。
3）當(dāng)時(shí)，

于是，只須證明，如此遞推，可歸結(jié)為1）或2）的情形，于是（＊）得證.
…………………14分