Question

廣東某品牌玩具企業(yè)的產(chǎn)品以往專銷歐州市場，在歐債危機的影響下，歐州市場的銷量受到嚴重影響，該企業(yè)在政府的大力扶助下積極開拓國內(nèi)市場，主動投入內(nèi)銷產(chǎn)品的研制開發(fā)，并基本形成了市場規(guī)模，自2010年9月以來的第n個月（2010年9月為每一個月），產(chǎn)品的內(nèi)銷量、出口量和銷售總量（內(nèi)銷量與出口量的和）分別為b_n、c_n和a_n（單位萬件），分析銷售統(tǒng)計數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下營銷趨勢：b_n＋1＝aa_n，c_n＋1＝a_n＋ba（其中a、b為常數(shù)），且a₁＝1萬件，a₂＝1.5萬件，a₃＝1.875萬件.

（1）求a,b的值，并寫出a_n＋1與a_n滿足的關(guān)系式；

（2）如果該企業(yè)產(chǎn)品的銷售總量a_n呈現(xiàn)遞增趨勢，且控制在2萬件以內(nèi)，企業(yè)的運作正常且不會出現(xiàn)資金危機；試證明：a_n＜a_n＋1＜2.

（3）試求從2010年9月份以來的第n個月的銷售總量a_n關(guān)于n的表達式.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）依題意：a_n＋1＝b_n＋1＋c_n＋1＝aa_n＋a_n＋ba，

又a₂＝aa₁＋a₁＋ba，∴a＋1＋b＝……………………①

又a₃＝aa₂＋a₂＋ba，∴…………②

解①②得a＝1，b＝－從而a_n＋1＝2a_n－a(n∈N^*)……………………………（4分）

（2）證法（Ⅰ）由于a_n＋1＝2a_n－a＝－(a_n－2)²＋2≤2.

但a_n＋1≠2，否則可推得a₁＝2與a₁＝1矛盾.故a_n＋1＜2，于是a_n＜2，

又a_n＋1－a_n＝－a＋2a_n－a_n＝－a_n(a_n－2)＞0，

所以a_n＋1＞a_n，從而a_n＜a_n＋1＜2.……………………………………………………（9分）

方法（Ⅱ）用數(shù)學歸納法

（�。┊�n＝1時，a₁＝1，a₂＝1.5，顯然a₁＜a₂＜2成立，

（ⅱ）假設n＝k時，a_k＜a_k＋1＜2成立.

由于函數(shù)f(x)＝－x²＋2x＝－(x－2)²＋2在［0,2］上為增函數(shù)，

則f(a_k)＜f(a_k＋1)＜f(2)即a_k(4－a_k)＜a_k＋1(4－a_k＋1)＜×2×(4－2)

即a_k＋1＜a_k＋2＜2成立.綜上可得n∈N^*有a_n＜a_n＋1＜2.………………………………（9分）

（3）由a_n＋1＝2a_n－a得2(a_n＋1－2)＝－(a_n－2)²，即(2－a_n＋1)＝(2－a_n)²，

又由（2）知a_n＜a_n＋1＜2，可知2－a_n＋1＞0，2－a_n＞0，

則lg(2－a_n＋1)＝2lg(2－a_n)－lg2，∴l(xiāng)g(2－a_n＋1)－lg2＝2［lg(2－a_n)－lg2］

即{lg(2－a_n＋1)－lg2}為等比數(shù)列，公比為2，首項為lg(2－a₁)－lg2＝－lg2

故lg(2－a_n)－lg2＝(－lg2)·2^n－1，∴a_n＝2－(n∈N^*)為所求.……………（13分）

 

【解析】略