Question

廣東某品牌玩具企業(yè)的產(chǎn)品以往專銷歐州市場(chǎng)，在歐債危機(jī)的影響下，歐州市場(chǎng)的銷量受到嚴(yán)重影響，該企業(yè)在政府的大力扶助下積極開(kāi)拓國(guó)內(nèi)市場(chǎng)，主動(dòng)投入內(nèi)銷產(chǎn)品的研制開(kāi)發(fā)，并基本形成了市場(chǎng)規(guī)模，自2010年9月以來(lái)的第n個(gè)月（2010年9月為每一個(gè)月），產(chǎn)品的內(nèi)銷量、出口量和銷售總量（內(nèi)銷量與出口量的和）分別為b_n、c_n和a_n（單位萬(wàn)件），分析銷售統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)形成如下?tīng)I(yíng)銷趨勢(shì)：b_n+1=aa_n，c_n+1=a_n+b

a

2 n

（其中a、b為常數(shù)），且a₁=1萬(wàn)件，a₂=1.5萬(wàn)件，a₃=1.875萬(wàn)件．
（1）求a，b的值，并寫出a_n+1與a_n滿足的關(guān)系式；
（2）如果該企業(yè)產(chǎn)品的銷售總量a_n呈現(xiàn)遞增趨勢(shì)，且控制在2萬(wàn)件以內(nèi)，企業(yè)的運(yùn)作正常且不會(huì)出現(xiàn)資金危機(jī)；試證明：a_n＜a_n+1＜2．
（3）試求從2010年9月份以來(lái)的第n個(gè)月的銷售總量a_n關(guān)于n的表達(dá)式．

Answer 1

分析：（1）依題意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，推出a+1+b=

3

2

，以及

3

2

a+

3

2

+b(

3

2

)2=

15

8

，求出a=1，b=-

1

2

得到a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²（n∈N^*）．
（2）證法（Ⅰ）利用a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²=-

1

2

（a_n-2）²+2≤2．可推得a₁=2與a₁=1矛盾．故a_n+1＜2，于是a_n＜2，通過(guò)單調(diào)性證明a_n＜a_n+1＜2．
方法（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法證明（�。�驗(yàn)證n=1時(shí)a₁＜a₂＜2成立，（ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)，a_k＜a_k+1＜2成立．證明n=k+1時(shí)不等式也成立．
（3）通過(guò)a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²，推出{lg（2-a_n+1）-lg2}為等比數(shù)列，公比為2，然后求出a_n=2-(

1

2

)2n-1-1（n∈N^*）．

解答：解：（1）依題意：a_n+1=b_n+1+c_n+1=aa_n+a_n+ba_n²，
又a₂=aa₁+a₁+ba₁²，∴a+1+b=

3

2

…①
又a₃=aa₂+a₂+ba₂²，∴

3

2

a+

3

2

+b(

3

2

)2=

15

8

…②
解①②得a=1，b=-

1

2

從而a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²（n∈N^*）…（4分）
（2）證法（Ⅰ）由于a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²=-

1

2

（a_n-2）²+2≤2．
但a_n+1≠2，否則可推得a₁=2與a₁=1矛盾．故a_n+1＜2，于是a_n＜2，
又a_n+1-a_n=-

1

2

a_n²+2a_n-a_n=-

1

2

a_n（a_n-2）＞0，
所以a_n+1＞a_n，從而a_n＜a_n+1＜2．…（9分）
方法（Ⅱ）用數(shù)學(xué)歸納法
（�。┊�(dāng)n=1時(shí)，a₁=1，a₂=1.5，顯然a₁＜a₂＜2成立，
（ⅱ）假設(shè)n=k時(shí)，a_k＜a_k+1＜2成立．
由于函數(shù)f（x）=-

1

2

x²+2x=-

1

2

（x-2）²+2在[0，2]上為增函數(shù)，
則f（a_k）＜f（a_k+1）＜f（2）即

1

2

a_k（4-a_k）＜

1

2

a_k+1（4-a_k+1）＜

1

2

×2×（4-2）
即a_k+1＜a_k+2＜2成立．綜上可得n∈N^*有a_n＜a_n+1＜2．…（9分）
（3）由a_n+1=2a_n-

1

2

a_n²得2（a_n+1-2）=-（a_n-2）²，即（2-a_n+1）=

1

2

（2-a_n）²，
又由（2）知a_n＜a_n+1＜2，可知2-a_n+1＞0，2-a_n＞0，
則lg（2-a_n+1）=2lg（2-a_n）-lg2，∴l(xiāng)g（2-a_n+1）-lg2=2[lg（2-a_n）-lg2]
即{lg（2-a_n+1）-lg2}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為lg（2-a₁）-lg2=-lg2
故lg（2-a_n）-lg2=（-lg2）•2^n-1，∴a_n=2-(

1

2

)2n-1-1（n∈N^*）為所求．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的關(guān)系式，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特征，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想，邏輯推理能力．