設(shè)關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)f(n)=1•22+2•32+…n(n+1)2
(1)求f(1),f(2),f(3);
(2)是否存在常數(shù)a,b,c使得f(n)=
n(n+1)
12
(an2+bn+c)
對(duì)一切自然數(shù)n都成立?并證明你的結(jié)論.
(1)∵f(n)=1•22+2•32+…n(n+1)2,
∴f(1)=1•22=4,
f(2)=1•22+2•32=22,
f(3)1•22+2•32+3•42=70;
(2)假設(shè)存在常數(shù)a,b,c使得f(n)=
n(n+1)
12
(an2+bn+c)
對(duì)一切自然數(shù)n都成立,
則f(1)=
1×2
12
(a+b+c)=4,
∴a+b+c=24①,
同理,由f(2)=22得4a+2b+c=44②,
由f(3)=70得9a+3b+c=70③
聯(lián)立①②③,解得a=3,b=11,c=10.
∴f(n)=
n(n+1)
12
(3n2+11n+10).
證明:1°當(dāng)n=1時(shí),顯然成立;
2°假設(shè)n=k時(shí),f(k)=
k(k+1)
12
(3k2+11k+10)=
k(k+1)(k+2)(3k+5)
12
,
則n=k+1時(shí),f(k+1)=f(k)+(k+1)[(k+1)+1]2
=
k(k+1)(k+2)(3k+5)
12
+(k+1)[(k+1)+1]2
=
(k+1)(k+2)
12
(3k2+17k+24)
=
(k+1)(k+2)(k+3)(3k+8)
12

=
(k+1)[(k+1)+1][(k+2)+1][3(k+1)+5]
12
,
即n=k+1時(shí),結(jié)論也成立.
綜合1°,2°知,存在常數(shù)a=3,b=11,c=10使得f(n)=
n(n+1)
12
(3n2+11n+10)對(duì)一切自然數(shù)n都成立.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

請(qǐng)先閱讀:
在等式)的兩邊求導(dǎo),得:,
由求導(dǎo)法則,得,化簡(jiǎn)得等式:。
(1)利用上題的想法(或其他方法),結(jié)合等式 (,正整數(shù)),證明:。
(2)對(duì)于正整數(shù),求證:
(i); (ii); (iii)。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)求證:(用兩種方法證明).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

用數(shù)學(xué)歸納法證明1+q+q2+…+qn+1=
qn+2-1
q-1
(q≠1)
.在驗(yàn)證n=1等式成立時(shí),等式的左邊的式子是( 。
A.1B.1+qC.1+q+q2D.1+q+q2+q3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sna1=-
1
2
,
1
Sn
+Sn-1=-2(n≥2,n∈N*)

(1)求S1,S2,S3,S4的值;
(2)猜想Sn的表達(dá)式;并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

對(duì)任意復(fù)數(shù)、,定義,其中的共軛復(fù)數(shù).對(duì)任意復(fù)數(shù)、、,有如下四個(gè)命題:
;
;
;
.
則真命題的個(gè)數(shù)是(   )
A.B.C.D.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知是虛數(shù)單位,,若復(fù)數(shù)的實(shí)部是,則     

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

已知復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的模=        

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)等于(  )
            

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