Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²，g（x）=alnx+bx（a＞0）
（1）若f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），求g（x）的解析式；
（2）在（1）的結(jié)論下，是否存在實(shí)常數(shù)k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值．若不存在，說明理由．
（3）設(shè)G（x）=f（x）+2-g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁和x₂，且x₁，x₀x₂成等差數(shù)列，試探究值G′（x₀）的符號(hào)．

Answer 1

解：（1）由f（1）=g（1），得 b=1．
∵f^′（x）=2x，，f′（1）=g′（1）
∴2=a+b，聯(lián)立，解得a=b=1，
則g（x）=lnx+x．
（2）因f（x）與g（x）有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），而函數(shù)f（x）=x²在點(diǎn)（1，1）的切線方程為y=2x-1，
下面驗(yàn)證 f（x）≥2x-1，g（x）≤2x-1 都成立即可．
由x²-2x+1≥0，得x²≥2x-1，知f（x）≥2x-1恒成立．
設(shè)h（x）=lnx+x-（2x-1），即h（x）=lnx-x+1，，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h^′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h^′（x）＜0．
∴h（x）在（0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，∴h（x）在x=1時(shí)取得最大值，
∴h（x）=lnx+x-（2x-1）的最大值為h（1）=0，所以lnx+x≤2x-1恒成立．
故存在這樣的k和m，且k=2，m=-1，滿足條件．
（3）G′（x₀）的符號(hào)為正，理由為：
∵G（x）=x²+2-alnx-bx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x₁，x₂，
則有，兩式相減得x₂²-x₁²-a（lnx₂-lnx₁）-b（x₂-x₁）=0．
即x₁+x₂-b=，又x₁+x₂=2x₀，
則G′（x₀）=2x₀--b=（x₁+x₂-b）-=-=
=，
①當(dāng)0＜x₁＜x₂時(shí)，令=t，則t＞1，且G′（x₀）=[lnt-]，
故μ（t）=lnt-（t＞1），μ′（t）=-=＞0，則μ（t）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
而μ（1）=0，∴μ（t）＞0，即lnt-＞0，又a＞0，x₂-x₁＞0，∴G′（x₀）＞0，
②當(dāng)0＜x₂＜x₁時(shí)，同理可得：G′（x₀）＞0，
綜上所述：G′（x₀）值的符號(hào)為正．
分析：（1）比較簡(jiǎn)單，只要利用條件f（1）=g（1），f′（1）=g′（1），即可求出a、b的值．
（2）通過畫圖象，可以知道f（x）與g（x）有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），而函數(shù)f（x）=x²在點(diǎn)（1，1）的切線方程為y=2x-1，只要驗(yàn)證 f（x）≥2x-1，g（x）≤2x-1 都成立即可．
（3）由G（x）=f（x）+2-g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁和x₂，得到x₁，x₂滿足的關(guān)系式，再由x₁，x₀x₂成等差數(shù)列，可得x₀用x₁、x₂表示的關(guān)系式，再經(jīng)過討論換元可證得G^′（x₀）＞0．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，熟練利用導(dǎo)數(shù)求極值和最值及恰當(dāng)分類討論、換元是解決問題的關(guān)鍵．