Question

若函數(shù)y=log_ax（a＞1）的定義域和值域均為[m，n]，則a的范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值域,函數(shù)的定義域及其求法,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：由題意知函數(shù)y=log_ax（a＞1）與y=x的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，從而轉(zhuǎn)化為log_ax-x=0有兩個(gè)不同的根，設(shè)f（x）=log_ax-x，利用導(dǎo)數(shù)求解．

解答： 解：∵函數(shù)y=log_ax（a＞1）的定義域和值域均為[m，n]，
∴函數(shù)y=log_ax（a＞1）與y=x的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
即log_ax-x=0有兩個(gè)不同的根，
設(shè)f（x）=log_ax-x，
則f′（x）=

1

xlna

-1，
令f′（x）=

1

xlna

-1=0得，
x=log_ae，
故當(dāng)x=log_ae時(shí)，g（x）取得最大值log_a（log_ae）-log_ae；
則log_a（log_ae）-log_ae＞0；
故1＜a＜e

1

e

；
故答案為：(1，e

1

e

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)與函數(shù)的圖象的關(guān)系應(yīng)用，屬于中檔題．