Question

如圖1，OA，OB是某地一個湖泊的兩條垂直的湖堤，線段CD和曲線EF分別是湖泊中的一條棧橋和防波堤．為觀光旅游需要，擬過棧橋CD上某點M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG，MK，且以MG，MK為邊建一個跨越水面的三角形觀光平臺MGK．建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測得CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線EF的方程是xy=200（x＞0），設(shè)點M的坐標(biāo)為（s，t）．（題中所涉及長度單位均為米，棧橋及防波堤都不計寬度）
（1）求三角形觀光平臺MGK面積的最小值；
（2）若要使△MGK的面積不小于320平方米，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題，且s+2t=20，0＜t＜10，
∴．
∵，當(dāng)且僅當(dāng)s=2t時取“=”，∴0＜st≤50．
令st=μ，μ∈（0，50]，，
∴．
∴f（μ）在（0，50]上遞減．∴．
（2）由題S_△MGK≥320，解得st≤40或st≥1000．
∴0＜（20-2t）t≤40，即t²-10t+20≥0．
∴或．
又0＜t＜10，∴．
分析：（1）由題意知，點 ，由MG∥OA，MK∥OB，可得MG、MK的長，即得三角形面積S_△MGK的表示，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出面積的最小值即可．
（2）由題S_△MGK≥320，解得st的范圍，將s消去可得關(guān)于t的一元二次不等式，解之即可求出t的范圍．
點評：本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于中檔題．