Question

如圖1，OA，OB是某地一個(gè)湖泊的兩條互相垂直的湖堤，線(xiàn)段CD和曲線(xiàn)段EF分別是湖泊中的一座棧橋和一條防波堤．為觀(guān)光旅游的需要，擬過(guò)棧橋CD上某點(diǎn)M分別修建與OA，OB平行的棧橋MG、MK，且以MG、MK為邊建一個(gè)跨越水面的三角形觀(guān)光平臺(tái)MGK．建立如圖2所示的直角坐標(biāo)系，測(cè)得線(xiàn)段CD的方程是x+2y=20（0≤x≤20），曲線(xiàn)段EF的方程是xy=200（5≤x≤40），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（s，t），記z=s•t．（題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為米，棧橋和防波堤都不計(jì)寬度
（1）求z的取值范圍；
（2）試寫(xiě)出三角形觀(guān)光平臺(tái)MGK面積S_△MGK關(guān)于z的函數(shù)解析式，并求出該面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意知，點(diǎn)M（s，t）在線(xiàn)段CD上，即s+2t=20；又因?yàn)镸G∥OA，MK∥OB，所以，5≤s≤10；
∴z=s•t可以表示出來(lái)，從而求出z的取值范圍；
（2）由題意知，點(diǎn)，由MG∥OA，MK∥OB，可得MG、MK的長(zhǎng)，即得三角形面積S_△MGK的表示；根據(jù)解析式求出面積的最小值即可．
解答：解：（1）由題意知，點(diǎn)M（s，t）在線(xiàn)段CD：x+2y=20（0≤x≤20）上，即s+2t=20，
又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)M要分別修建與OA、OB平行的棧橋MG、MK，
所以，5≤s≤10；
∴；
所以，z的取值范圍是：{z|}；
（2）由題意，得
所以，；
則：，
因?yàn)�，函�?shù)在單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)z=50時(shí)，三角形觀(guān)光平臺(tái)的面積取最小值，為225平方米．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)模型的應(yīng)用，利用三角形面積公式考查了基本不等式的應(yīng)用；同時(shí)考查了一定的計(jì)算能力，所以要細(xì)心解答，以免出錯(cuò)．