Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=x2eax ， a＞0．
（1）證明：函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）若方程f（x）﹣1=0有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：f（x）的定義域R，求導(dǎo)，f′（x）=2xeax+ax2eax=xeax（ax+2），

當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，a＞0，則eax＞0，則xeax（ax+2）＞0，

則f′（x）＞0，

∴函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)

（2）令f′（x）=0，記得x=﹣v或x=0，

x	（﹣∞，﹣ ）		（ ，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

則當(dāng)x=﹣ 時(shí)，函數(shù)有極大值f（﹣ ）= ，

當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)有極小值f（0）=0，

當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0，x→﹣∞時(shí)，f（x）→0，x→+∞時(shí)，f（x）→+∞，

由f（x）﹣1=0，即f（x）=1有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

即 =1，解得：a= ，（負(fù)根舍去）

實(shí)數(shù)a的值

【解析】（1）求導(dǎo)，由x∈（0，+∞）則f′（x）＞0，則函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；（2）求導(dǎo)，f′（x）=0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）極大值，由f（x）=1有且只有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即 =1，即可求得實(shí)數(shù)a的值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．