Question

【題目】對于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對數(shù)列進行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當?shù)玫降臄?shù)列各項均為時變換結束．

（1）試問和經(jīng)過不斷的“變換”能否結束？若能，請依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；

（2）求經(jīng)過有限次“變換”后能夠結束的充要條件；

（3）證明：一定能經(jīng)過有限次“變換”后結束．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)定義，可得不能結束，數(shù)列能結束，并可寫出數(shù)列；（2）經(jīng)過有限次“變換”后能夠結束的充要條件，先證明，則經(jīng)過一次“變換”，就得到數(shù)列，從而結束，再證明命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”， 即可得解；（3）先證明引理：“將數(shù)的最大項一定不大于數(shù)列的最大項，其中

” ，再分類討論：第一類是沒有為的項，或者為的項與最大項不相鄰，（規(guī)定首項與末項相鄰），此時由引理可知，，第二類是含有為的項，且與最大項相鄰，此時，證明第二類數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”，一定可以得到第一類數(shù)列.

（1）數(shù)列不能結束，各數(shù)列依次為；；；；；；…．從而以下重復出現(xiàn)，不會出現(xiàn)所有項均為的情形．

數(shù)列能結束，各數(shù)列依次為；；；．

（2）解：經(jīng)過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．

若，則經(jīng)過一次“變換”就得到數(shù)列，從而結束．

當數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結束時，先證命題“若數(shù)列為常數(shù)列，則為常數(shù)列”．

當時，數(shù)列．

由數(shù)列為常數(shù)列得，解得，從而數(shù)列也為常數(shù)列．

其它情形同理，得證．

在數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后結束時，得到數(shù)列(常數(shù)列)，由以上命題，它變換之前的數(shù)列也為常數(shù)列，可知數(shù)列也為常數(shù)列．

所以，數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”后能夠結束的充要條件是．

（3）證明：先證明引理：“數(shù)列的最大項一定不大于數(shù)列的最大項，其中”．

證明：記數(shù)列中最大項為，則．

令，，其中．

因為， 所以，

故，證畢．

現(xiàn)將數(shù)列分為兩類．

第一類是沒有為的項，或者為的項與最大項不相鄰（規(guī)定首項與末項相鄰），此時由引理可知，．

第二類是含有為的項，且與最大項相鄰，此時．

下面證明第二類數(shù)列經(jīng)過有限次“變換”，一定可以得到第一類數(shù)列．

不妨令數(shù)列的第一項為，第二項最大()．（其它情形同理）

①當數(shù)列中只有一項為時，

若()，則，此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列；

若，則；此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列；

若()，則，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列；

若，則；；，

此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列．

②當數(shù)列中有兩項為時，若()，則，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列；

若()，則，，此數(shù)列各項均不為或含有項但與最大項不相鄰，為第一類數(shù)列．

③當數(shù)列中有三項為時，只能是，則，

，，此數(shù)列各項均不為，為第一類數(shù)列．

總之，第二類數(shù)列至多經(jīng)過次“變換”，就會得到第一類數(shù)列，即至多連續(xù)經(jīng)歷次“變換”，數(shù)列的最大項又開始減少．

又因為各數(shù)列的最大項是非負整數(shù)，

故經(jīng)過有限次“變換”后，數(shù)列的最大項一定會為，此時數(shù)列的各項均為，從而結束．