Question

【題目】如圖，已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD為菱形，且∠BCD=60°，P為AD1的中點，Q為BC的中點

（1）求證：PQ∥平面D1DCC1；
（2）求證：DQ⊥平面B1BCC1 ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：過P作PM∥AD交D1D于M，連接MC，則M為D1D的中點，

∴PM∥AD，PM= AD，

∵AD∥BC，Q為BC的中點，

∴PM∥QC，PM=QC，

∴四邊形PMCQ是平行四邊形，

∴PQ∥MC，

∵PQ平面DCC1D1，MC平面DCC1D1，

∴PQ∥平面DCC1D1

（2）解：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，DQ平面ABCD，

∴B1B⊥DQ，

在菱形ABCD中，DC=BC，∠BCD=60°，∴△BCD為正三角形，故DB=DC，

∵Q為BC的中點，

∴DQ⊥BC，

∵B1B∩BC=B，

∴DQ⊥平面B1BCC1．

【解析】（1）過P作PM∥AD交D1D于M，連接MC，則M為D1D的中點，證明四邊形PMCQ是平行四邊形，可得PQ∥MC，即可證明PQ∥平面D1DCC1；（2）證明B1B⊥DQ，DQ⊥BC，利用線面垂直的判定定理證明：DQ⊥平面B1BCC1 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．