Question

P為橢圓C：上一點(diǎn)，A、B為圓O：x²+y²=b²上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AB分別交x軸，y軸于M、N兩點(diǎn)且，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若橢圓的準(zhǔn)線為，并且，求橢圓C的方程．
（2）橢圓C上是否存在滿足的點(diǎn)P？若存在，求出存在時(shí)a，b滿足的條件；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)條件求出PA與PB，進(jìn)而得到AB的方程，求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，可以得到關(guān)于a，b的等式；再結(jié)合橢圓的準(zhǔn)線為，即可求出a，b的值，進(jìn)而求出橢圓C的方程．
（2）先假設(shè)存在P（x，y）滿足要求，得到OBPA為正方形，即，轉(zhuǎn)化為關(guān)于點(diǎn)P（x，y）的等式；再結(jié)合P（x，y）在橢圓上，即可求出點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)所滿足的等式，再通過討論即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
易求得PA：x₁x+y₁y=b²，PB：x₂x+y₂y=b²，
則x₁x+y₁y=b²，x₂x+y₂y=b²
于是AB：xx+yy=b²（xy≠0），
可求得

再由條件，以及a²-b²=c²易得a=5，b=4，
于是所求橢圓為，
（2）設(shè)存在P（x，y）滿足要求，則當(dāng)且僅當(dāng)OBPA為正方形．
，即x²+y²=2b²…（1），
又因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131103172518397341840/SYS201311031725183973418018_DA/9.png">
解（1）（2）得，
所以   （�。┊�(dāng)時(shí)，存在P（x，y）滿足要求；
（ⅱ）當(dāng)時(shí)，不存在P（x，y）滿足要求．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題．圓與圓錐曲線同屬于幾何內(nèi)容，都可以用解析法研究（都是二次曲線）．所以要特別關(guān)注圓與圓錐曲線在一些題目中的交匯、綜合．