Question

【題目】已知函數(shù), .

（1）當時,求函數(shù)f(x)的值域；

（2）若恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f(x)的值域為[0,4].（2）a的取值范圍為.

【解析】試題分析：（1）化簡函數(shù)得f(x)＝ln2x－2ln x＋1，令t＝ln x∈[－1,2]，得y＝t2－2t＋1，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可；

（2）由條件知ln2x－aln x－2a－1≤0恒成立，令t＝ln x∈[－1,2]，所以t2－at－2a－1≤0恒成立，利用二次函數(shù)性質(zhì)，討論單調(diào)性，只需ymax≤0即可.

試題解析：

(1)當a＝1時，y＝f(x)＝ln2x－2ln x＋1，

令t＝ln x∈[－1,2]，所以y＝t2－2t＋1＝(t－1)2，

當t＝1時，取得最小值0；t＝－1時，取得最大值4

所以f(x)的值域為[0,4]．

(2)因為f(x)≤－aln x＋4，所以ln2x－aln x－2a－1≤0恒成立，

令t＝ln x∈[－1,2]，所以t2－at－2a－1≤0恒成立，設(shè)y＝t2－at－2a－1，

所以當≤即a≤1時，當t＝2時ymax＝－4a＋3≤0，所以≤a≤1，

當>即a>1時，當t＝-1時ymax＝－a≤0，所以a>1，

綜上所述，a的取值范圍為。