Question

某公司生產(chǎn)的商品A每件售價為5元時，年銷售10萬件．
（1）據(jù)市場調(diào)查，若價格每提高一元，銷量相應(yīng)減少1萬件，要使銷售收入不低于原銷售收入，該商品的銷售價格最多提高多少元？
（2）為了擴大該商品的影響力，公司決定對該商品的生產(chǎn)進行技術(shù)革新，將技術(shù)革新后生產(chǎn)的商品售價提高到每件x元，公司擬投入

1

2

(x2+x)萬元作為技改費用，投入

x

4

萬元作為宣傳費用．試問：技術(shù)革新后生產(chǎn)的該商品銷售量m至少應(yīng)達(dá)到多少萬件時，才可能使技術(shù)革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和？

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系即可；
（2）結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（1）設(shè)商品的銷售價格提高a元，則銷售量減少10-a萬件，
則（10-a）（5+a）≥50，即a²-5a≤0，解得0≤a≤5，
故商品的銷售價格最多提高5元．
（2）由題意知，改革后的銷售收入為mx萬元，若使技術(shù)革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和，
則只需要滿足mx=

1

2

（x²+x）+

x

4

+50，（x＞5）即可，
即m=

1

2

x+

3

4

+

50

x

≥

3

4

+2

1 2 x• 50 x

=10+

3

4

=

43

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)

1

2

x=

50

x

，即x=10時，取等號，
答：銷售量m至少應(yīng)達(dá)到

43

4

萬件時，才可能使技術(shù)革新后的該商品銷售收入等于原銷售收入與總投入之和．

點評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，根據(jù)條件建立函數(shù)關(guān)系，利用基本不等式的性質(zhì)求最值是解決本題的關(guān)鍵．