Question

(12分)我們把同時滿足下列兩個性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)” :
①函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為.
⑴已知冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn),判斷是否是和諧函數(shù)?
⑵判斷函數(shù)是否是和諧函數(shù)?
⑶若函數(shù)是和諧函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）是和諧函數(shù)。（2）不是和諧函數(shù)。(3) .

解析試題分析：. (1)設(shè)，由，得，
在上是增函數(shù)，
令，得
故是和諧函數(shù)。                 ………………………4分
⑵易得為上的減函數(shù)，
① 若則，相減得與矛盾；
② 若則，與矛盾；
③ 若則，與矛盾。
故不是和諧函數(shù)。               ………………………………………8分
⑶在上是增函數(shù)，
由函數(shù)是和諧函數(shù)知, 函數(shù)在內(nèi)存在區(qū)間,使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為.

是方程在區(qū)間內(nèi)的兩個不等實(shí)根
在區(qū)間內(nèi)的兩個不等實(shí)根，
         ………………………12分
考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的值域；函數(shù)的綜合應(yīng)用；一元二次方程根的分布問題。
點(diǎn)評：（1）此題以新定義為背景，來考查函數(shù)的綜合應(yīng)用。考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想。（2）設(shè)一元二次方程（）的兩個實(shí)根為，，且。
① ，(兩個正根)；
② ，(兩個負(fù)根)；
③ (一個正根一個負(fù)根)。