【題目】定義：若兩個(gè)橢圓的離心率相等，則稱兩個(gè)橢圓是“相似”的，如圖，橢圓與橢圓是相似的兩個(gè)橢圓，并且相交于上下兩個(gè)頂點(diǎn)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4，橢圓，短軸長(zhǎng)是1，點(diǎn)，分別是橢圓的左焦點(diǎn)與右焦點(diǎn).

（1）求橢圓，的方程；

（2）過的直線交橢圓于點(diǎn)，，求面積的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】試題

(1)利用題意結(jié)合“相似”的定義設(shè)橢圓的半焦距為，橢圓的半焦距為，由a,b,c的關(guān)系可得：橢圓的方程為，橢圓的方程是；

(2)由題意可得三角形面積的表達(dá)式，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得的面積的最大值為.

試題解析：

解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，橢圓的半焦距為，由已知，，，

∵橢圓與橢圓的離心率相等，即，

∴，即，

∴，即，∴，

∴橢圓的方程為，橢圓的方程是；

（2）顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為.

聯(lián)立：，得，即，

∴，設(shè)，，

則，，∴，

的高即為點(diǎn)到直線：的距離，

∴的面積，

∵，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，

∴，即的面積的最大值為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在梯形中， ， . ，且平面， ，點(diǎn)為上任意一點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（包括兩端點(diǎn)），若平面與平面所成的銳二面角為60°，試確定點(diǎn)的位置．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，左焦點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上任一點(diǎn)，若直線與的斜率之積為，且橢圓經(jīng)過點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若交直線于兩點(diǎn)，過左焦點(diǎn)作以為直徑的圓的切線.問切線長(zhǎng)是否為定值，若是，請(qǐng)求出定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市舉行“中學(xué)生詩詞大賽”，分初賽和復(fù)賽兩個(gè)階段進(jìn)行，規(guī)定：初賽成績(jī)大于90分的具有復(fù)賽資格，某校有800名學(xué)生參加了初賽，所有學(xué)生的成績(jī)均在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖．

（Ⅰ）求獲得復(fù)賽資格的人數(shù)；

（Ⅱ）從初賽得分在區(qū)間的參賽者中，利用分層抽樣的方法隨機(jī)抽取人參加學(xué)校座談交流，那么從得分在區(qū)間與各抽取多少人?

（Ⅲ）從（Ⅱ）抽取的人中，選出人參加全市座談交流，設(shè)表示得分在區(qū)間中參加全市座談交流的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E（X）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓，離心率.左焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.

（1）求該橢圓的方程；

（2）過橢圓的左焦點(diǎn)的任意一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)使得軸平分,若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱 中，D為A1B1的中點(diǎn)，AB＝BC＝2，,，則異面直線BD與AC所成的角為（　�。�

A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓： 過點(diǎn)，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）， 是過點(diǎn)且互相垂直的兩條直線，其中交圓于， 兩點(diǎn)， 交橢圓于另一個(gè)點(diǎn)，求面積取得最大值時(shí)直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場(chǎng)銷售某種品牌的空調(diào)器，每周周初購(gòu)進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器，商場(chǎng)每銷售一臺(tái)空調(diào)器可獲利500元，若供大于求，則每臺(tái)多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每臺(tái)空調(diào)器僅獲利潤(rùn)200元。

（Ⅰ）若該商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器，求當(dāng)周的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)周需求量n（單位：臺(tái)，）的函數(shù)解析式；

（Ⅱ）該商場(chǎng)記錄了去年夏天（共10周）空調(diào)器需求量n（單位：臺(tái)），整理得下表：

周需求量n

18

19

20

21

22

頻數(shù)

1

2

3

3

1

以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器，X表示當(dāng)周的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)A（t，1）為函數(shù)y＝ax2+bx+4（a，b為常數(shù)，且a≠0）與y＝x圖象的交點(diǎn)．

（1）求t；

（2）若函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，求a，b；

（3）若1≤a≤2，設(shè)當(dāng)≤x≤2時(shí)，函數(shù)y＝ax2+bx+4的最大值為m，最小值為n，求m﹣n的最小值．

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