Question

【題目】已知橢圓，離心率.左焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為3.

（1）求該橢圓的方程；

（2）過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的任意一條直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)使得軸平分,若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）在橢圓中，代入，解得，所以，結(jié)合,可解出，得到橢圓方程；（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得軸平分，先考慮斜率不存在，然后再研究斜率存在的情況，設(shè)出，聯(lián)立橢圓方程，得到韋達(dá)定理，結(jié)合，可解出的坐標(biāo).

（1）在橢圓中，代入，解得

所以過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)被橢圓截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為

所以解得：，

所以橢圓方程為：

（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得軸平分,

當(dāng)斜率不存在時(shí)，點(diǎn)為x軸上任意一點(diǎn)，

當(dāng)斜率存在時(shí)，可設(shè)，與橢圓交于兩點(diǎn),

聯(lián)立和得

所以，

又因?yàn)?/span>軸平分

所以，即

整理得，

即，

化簡(jiǎn)得，即點(diǎn)為

所以在軸上存在定點(diǎn)使得軸平分