Question

已知P為拋物線y=x²上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A（a，0）關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是Q，
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）若（1）中的軌跡與拋物線y=x²交于B、C兩點(diǎn)，當(dāng)AB⊥AC時(shí)，求a的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)定點(diǎn)A（a，0）關(guān)于P點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是Q，寫出中點(diǎn)的坐標(biāo)公式，用a，x表示x₀，y₀，根據(jù)這是曲線上的一點(diǎn)，代入曲線的方程，得到要求的點(diǎn)的軌跡．
（2）兩個(gè)曲線相交的問(wèn)題，需要把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，得到關(guān)于x的方程，根據(jù)有兩個(gè)交點(diǎn)，得到方程有兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，再根據(jù)垂直的關(guān)系得到結(jié)果．

解答：解：（1）設(shè)Q（x，y）、P（x₀，y₀）

∵  A、Q關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱

，
∴

x0= x+a 2 y0= y 2

，
∴

y

2

=(

x+a

2

)2，即y=

1

2

(x+a)2
（2）由

y=x2 y= 1 2 (x+a)2

消去y得x²-2ax-a²=0
又因?yàn)閮汕�線相交于B、C兩點(diǎn)，
∴△=4a²-4（-a²）=8a²＞0，∴a≠0
設(shè)B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）

則x1+x2=2a，x1x2=-a2 ∵ AB⊥AC∴kAB•kAC=-1，即 y1 x1-a • y2 x21-a =-1 ∴y1y2+x1x2-a(x1+x2)+a2=0 ∵y1y2= x 2 1 • x 2 2 =(-a2)2=0∴a4-a2-2a2+a2=0 解得a=± 2 或a=0(舍去) ∴當(dāng)AB⊥AC時(shí)，a的值為± 2 ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的綜合問(wèn)題，本題解題的關(guān)鍵是先求出滿足條件的軌跡，在利用方程聯(lián)立，在聯(lián)立方程時(shí)注意判斷式與根與系數(shù)的關(guān)系的作用．