Question

已知P為拋物線y=

1

4

x2上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸上的射影為M，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，0），則|PA|+|PM|的最小值是

5

-1

．

Answer 1

分析：求出拋物線焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線為y=-1，延長PM交準(zhǔn)線于N，連接PF，由拋物線定義得|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，得當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|=|AF|為最小值，由此即可求得|PA|+|PM|的最小值．

解答：解：拋物線y=

1

4

x2化成標(biāo)準(zhǔn)形式為x²=4y，
得它的焦點(diǎn)為F（0，1），準(zhǔn)線為l：y=-1
延長PM交準(zhǔn)線于N，連接PF，根據(jù)拋物線的定義，得
|PA|+|PM|=|PA|+|PN|-1=|PA|+|PF|-1
∵△PAF中，|PA|+|PF|＞|AF|
∴當(dāng)且僅當(dāng)P、A、F三點(diǎn)共線時(shí)，|PA|+|PF|=|AF|為最小值
∵|AF|=

22+12

=

5

∴|PA|+|PM|的最小值為

5

-1
故答案為：

5

-1

點(diǎn)評：本題給出拋物線上動點(diǎn)，求該點(diǎn)到定點(diǎn)與拋物線準(zhǔn)線的距離之和的最小值，著重考查了拋物線的定義和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．