【題目】如圖,已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面于直線,且, 且∥.
(Ⅰ)設(shè)點(diǎn)為棱中點(diǎn),求證: 平面;
(Ⅱ)線段上是否存在一點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值等于?若存在,試確定點(diǎn)的位置;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),直線與平面所成角的正弦值為,理由見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(1)由平面平面,及為矩形可知,所以平面,可以為原點(diǎn),為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系,從而利用向量得到,平面的方向向量,通過(guò)證明平面;(2)可求得平面的方向向量, 與平面的夾角和與的夾角互余,通過(guò)向量的運(yùn)算即可求得坐標(biāo).
試題解析:(1)證明:由已知,平面平面,且,則平面,所以兩兩垂直,故以為原點(diǎn), 分別為軸軸, 軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .
則,所以.
易知平面的一個(gè)法向量等于,所以,所以,
又平面,所以平面.
(2)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),直線與平面所成角的正弦值為.
理由如下:
因?yàn)?/span>,設(shè)平面的法向量為,
由,得,
即,得平面的一個(gè)法向量等于,
假設(shè)線段上存在一點(diǎn),使得直線與平面所成的角的正弦值等于.
設(shè),
則.
所以
.
所以,解得或 (舍去)
因此,線段上存在一點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí),直線與平面所成角的正弦值等于.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如下圖,已知點(diǎn)是離心率為的橢圓: 上的一點(diǎn),斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn),且、、三點(diǎn)互不重合.
(1)求橢圓的方程;
(2)求證:直線, 的斜率之和為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x(1-)是R上的偶函數(shù).
(1)對(duì)任意的x∈[1,2],不等式m·≥2x+1恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
(2)令g(x)=1-,設(shè)函數(shù)F(x)=g(4x-n)-g(2x+1-3)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,BC=2AD,四邊形ABEF是矩形,將矩形ABEF沿AB折起到四邊形ABE1F1的位置,使平面ABE1F1⊥平面ABCD,M為AF1的中點(diǎn),如圖2.
(1)求證:BE1⊥DC;
(2)求證:DM∥平面BCE1;
(3)判斷直線CD與ME1的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為1,E,F分別是棱AA′,CC′的中點(diǎn),過(guò)直線EF的平面分別與棱BB′、DD′分別交于M,N兩點(diǎn),設(shè)BM=x,x∈[0,1],給出以下四個(gè)結(jié)論:
①平面MENF⊥平面BDD′B′;
②直線AC∥平面MENF始終成立;
③四邊形MENF周長(zhǎng)L=f(x),x∈[0,1]是單調(diào)函數(shù);
④四棱錐C′-MENF的體積V=h(x)為常數(shù);
以上結(jié)論正確的是__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)校從參加安全知識(shí)競(jìng)賽的同學(xué)中,選取60名同學(xué)將其成績(jī)(百分制,均為整數(shù),成績(jī)分記為優(yōu)秀)分成6組后,得到部分頻率分布直方圖(如圖),觀察圖形中的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)求分?jǐn)?shù)在[70,80)內(nèi)的頻率,并補(bǔ)全這個(gè)頻率分布直方圖;
(2)從頻率分布直方圖中,估計(jì)本次考試的平均分;
(3)為參加市里舉辦的安全知識(shí)競(jìng)賽,學(xué)校舉辦預(yù)選賽.已知在學(xué)校安全知識(shí)競(jìng)賽中優(yōu)秀的同學(xué)通過(guò)預(yù)選賽的概率為,現(xiàn)在從學(xué)校安全知識(shí)競(jìng)賽中優(yōu)秀的同學(xué)中選3人參加預(yù)選賽,若隨機(jī)變量表示這3人中通過(guò)預(yù)選賽的人數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知直線的參數(shù)方程為 (為參數(shù)),曲線的極坐標(biāo)方程是.
(1)寫(xiě)出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)的極坐標(biāo)為,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直三棱柱中,底面為等腰直角三角形, , , 若、、別是棱、、的中點(diǎn),則下列四個(gè)命題:
;
②三棱錐的外接球的表面積為;
③三棱錐的體積為;
④直線與平面所成角為
其中正確的命題有__________.(把所有正確命題的序號(hào)填在答題卡上)
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