Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝x(1－)是R上的偶函數(shù)．

(1)對任意的x∈[1,2]，不等式m·≥2x＋1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

(2)令g(x)＝1－，設(shè)函數(shù)F(x)＝g(4x－n)－g(2x＋1－3)有零點，求實數(shù)n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）實數(shù)m的取值范圍為[3，＋∞).（2）實數(shù)n的取值范圍是(2，＋∞).

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)偶函數(shù)得a＝2，再分離變量得m≥2x－1最大值，即得實數(shù)m的取值范圍（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性化簡方程F(x)＝0得n＝4x－2x＋1＋3，再根據(jù)二次函數(shù)值域求實數(shù)n的取值范圍．

試題解析：(1)∵函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)·(1－)＝x·(1－)．

∴x·(2－a)＝0，由于x不恒為0，∴a＝2.3分

故f(x)＝x(1－)＝x·.

又x∈[1,2]，∴2x－1＞0,2x＋1＞0，

∴不等式m·≥2x＋1恒成立，等價于m≥2x－1恒成立．

又x∈[1,2]，∴2x－1∈[1,3]，∴當m≥3時，不等式m≥2x－1恒成立，

∴實數(shù)m的取值范圍為[3，＋∞).

(2)函數(shù)F(x)＝g(4x－n)－g(2x＋1－3)有零點，等價于方程g(4x－n)－g(2x＋1－3)＝0有實數(shù)根．由(1)知f(x)＝x(1－)，

∴g(x)＝1－＝ (x≠0)．

由2x＋1是增函數(shù)，∴g(x)是減函數(shù).9分

∴4x－n＝2x＋1－3，

∴n＝4x－2x＋1＋3.

∵4x－2x＋1＋3

＝(2x)2－2·2x＋3

＝(2x－1)2＋2，

又x≠0，∴(2x－1)2＋2>2.

故實數(shù)n的取值范圍是(2，＋∞).