Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)P是△PMN的頂點(diǎn)，M（﹣2，0），N（2，0），直線PM，PN的斜率之積為﹣ ．

（1）求點(diǎn)P的軌跡E的方程；

（2）設(shè)四邊形ABCD的頂點(diǎn)都在曲線E上，且AB∥CD，直線AB，CD分別過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（1，0），求四邊形ABCD的面積為時(shí)，直線AB的方程．

Answer 1

【答案】（1）（x≠±2）；（2）x±y+1＝0．

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)P(x，y)，直接把已知條件用坐標(biāo)表示并化簡(jiǎn)即可；

（2）設(shè)直線AB的方程為x＝my﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由直線與橢圓相交弦長(zhǎng)公式（應(yīng)用韋達(dá)定理計(jì)算）求出弦長(zhǎng)，交求出原點(diǎn)到直線距離，表示出面積，由對(duì)稱性知四邊形ABCD的面積是面積的4倍，從而可以求出．

解：（1）設(shè)點(diǎn)P(x，y)，

∵直線PM與PN的斜率之積為﹣，

即＝＝﹣，

化簡(jiǎn)得（x≠±2），

∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為(x≠±2)；

（2）設(shè)直線AB的方程為x＝my﹣1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由

得(3m2+4)y2﹣6my﹣9＝0，

則 ， y1+y2＝，，

|y1﹣y2|＝＝，

∴|AB|＝＝，

又原點(diǎn)O到直線AB的距離d＝，

∴S△ABO＝×＝，

由圖形的對(duì)稱性可知，SABCD＝4S△ABO，

∴SABCD＝＝，

化簡(jiǎn)得18m4﹣m2﹣17＝0，

解得m2＝1，即m＝±1，

∴直線AB的方程為x＝±y﹣1，即x±y+1＝0．