Question

定義在R上的函數(shù)f（x），滿足f（m+n²）=f（m）+2[f（n）]²，m，n∈R，且f（1）≠0，則f（2014）的值為

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：通過賦值法求出f（0），f（1），推出f（x+1）=f（x）+

1

2

，說明數(shù)列{f（x）}（x∈Z）是等差數(shù)列，然后求解f（2014）的值

解答： 解：令m=n=0得f（0+0²）=f（0）+2[f（0）]²，
所以f（0）=0；
令m=0，n=1得f（0+1²）=f（0）+2[f（1）]²．
由于f（1）≠0，
所以f（1）=

1

2

；
令m=x，n=1得f（x+1²）=f（x）+2[f（1）]²，
所以f（x+1）=f（x）+2×（

1

2

）²，f（x+1）=f（x）+

1

2

，
這說明數(shù)列{f（x）}（x∈Z）是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數(shù)列，
所以f（2014）=

1

2

+（2014-1）×

1

2

=1007．
故答案為：1007．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用，抽象函數(shù)以及賦值法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．