Question

【題目】已知函數(shù)．

(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(Ⅱ)若，均有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) 增區(qū)間是，減區(qū)間是,函數(shù)有極小值為 ;(2) .

【解析】試題分析：I）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′（x），再解不等式f′（x）＞0，得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式f′（x）＜0得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，最后由極值定義求得函數(shù)極值

（II）構(gòu)造新函數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最大值問題，利用導(dǎo)數(shù)先求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再確定其最大值，最后解不等式求得實(shí)數(shù)a的取值范圍

試題解析：

由題意， ，

（Ⅰ）由得，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是；

由得，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是

∴當(dāng)時，函數(shù)有極小值為

（Ⅱ）法一，由于，均有，

即， 恒成立，

∴， ，

由（Ⅰ），函數(shù)極小值即為最小值，

∴，解得．

法二，因?yàn)?/span>，所以不等式等價(jià)于，即

設(shè)，則，

而，

顯然當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時， ，函數(shù)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的最大值為，

由不等式恒成立可得，解得．