Question

若各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n）的前n項和為S_n，首項a₁=1，a₂=3，點P（

Sn+1

，S_n+2）（n∈N⁺）在函數(shù)y=（x+1）²的圖象上
（1）求a₃；
（2）求數(shù)列{a_n）的通項公式；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n）的通項公式為c_n=

an

an+t

，是否存在整數(shù)t，使得數(shù)列{c_n）中存在項c_k（k≥3，k∈N⁺），滿足c₁，c₂，c_k：構(gòu)成等差數(shù)列，若存在，請求出所有符合條件的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件得Sn+2=(

Sn+1

+1)2，令n=1，則a1+a2+a3=(

a1+a2

+1)2，由此能求出a₃．
（2）由Sn+2=(

Sn+1

+1)2，得

Sn+2

-

Sn+1

=1，從而得到數(shù)列{

Sn

}是以

S1

為首項，1為公差的等差數(shù)列，由此能求出數(shù)列{a_n）的通項公式．
（3）c_n=

2n-1

2n-1+t

，要使c₁，c₂，c_k成等差數(shù)列，必須

6

3+t

=

1

1+t

+

2k-1

2k-1+t

，由此能求出所有符合條件的t值．

解答： 解：（1）∵點P（

Sn+1

，S_n+2）（n∈N⁺）在函數(shù)y=（x+1）²的圖象上，
∴Sn+2=(

Sn+1

+1)2，…（1分）
令n=1，則S₃=（

S2

+1）²，…（2分）
即a1+a2+a3=(

a1+a2

+1)2，
∴a3=(

a1+a2

+1)2-a1-a2=（

1+3

+1)2-1-3=5²-1-3=5．…（3分）
（2）由Sn+2=(

Sn+1

+1)2，得

Sn+2

-

Sn+1

=1．…（4分）
又

S2

-

S1

=

a1+a2

-

a1

=1，…（5分）
∴數(shù)列{

Sn

}是以

S1

為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴

Sn

=

S1

+(n-1)×1，即S_n=n²，…（6分）
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=n²-（n-1）²
=2n-1，…（8分）
∵a₁=1也滿足上式，
∴a_n=2n-1．…（9分）
（3）由（2）知，c_n=

an

an+t

=

2n-1

2n-1+t

，
要使c₁，c₂，c_k成等差數(shù)列，必須2c₂=c₁+c_k，
即

6

3+t

=

1

1+t

+

2k-1

2k-1+t

，…（10分）
化簡得k=3+

4

t-1

．…（12分）
∵k≥3，k∈N^*，且t為整數(shù)，∴t-1只能為1，2，4，…（13分）
∴所有符合條件的t值為2，3，5．…（14分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式的求法，考查符合條件的實數(shù)值是否存在的判斷與嫠法，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的靈活運(yùn)用．