Question

【題目】已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的焦距為，左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓上，若的面積最大時(shí).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限的點(diǎn)且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于另一點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）確定是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)的面積最大，則有，即，再根據(jù)求解.

（2）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線不與軸垂直，設(shè)直線，即，設(shè)，.由，得.由韋達(dá)定理，用k表示，再根據(jù)，得到，進(jìn)而求得，證明.

（1）當(dāng)是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)的面積最大，

設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，

則，即.

又，，

，，.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）證明：依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

直線不與軸垂直，設(shè)直線，

即，直線，即.

設(shè)，.

由，

得.

，.

則.

又，，

.

又，.

.