Question

【題目】已知點(diǎn)（x，y）是區(qū)域 ， （n∈N*）內(nèi)的點(diǎn)，目標(biāo)函數(shù)z=x+y，z的最大值記作zn ． 若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， a1=1，且點(diǎn)（Sn ， an）在直線zn=x+y上．
證明：數(shù)列{an﹣2}為等比數(shù)列

Answer 1

【答案】解：∵目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線l：z=x+y，
區(qū)域，（n∈N*）表示以x軸、y軸和直線x+2y=2n為三邊的三角形，
∴當(dāng)x=2n，y=0時(shí)，z的最大值z(mì)n=2n
∵（Sn ， an）在直線zn=x+y上
∴zn=Sn+an ， 可得Sn=2n﹣an ，
當(dāng)n≥2時(shí)，可得an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣an）﹣[2（n﹣1）﹣an﹣1]
化簡整理，得2an=an﹣1+2
因此，an﹣2=（an﹣1+2）﹣2=（an﹣1﹣2）
當(dāng)n=1時(shí)，an﹣2=a1﹣2=﹣1
∴數(shù)列{an﹣2}是以﹣1為首項(xiàng)，公比q=的等比數(shù)列；
【解析】根據(jù)線性規(guī)劃原理，可得z的最大值z(mì)n=2n，從而得到Sn=2n﹣an ． 運(yùn)用數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，算出2an=an﹣1+2，由此代入數(shù)列{an﹣2}再化簡整理，即可得到{an﹣2}是以﹣1為首項(xiàng)，公比q=的等比數(shù)列；
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等比關(guān)系的確定的相關(guān)知識(shí)，掌握等比數(shù)列可以通過定義法、中項(xiàng)法、通項(xiàng)公式法、前n項(xiàng)和法進(jìn)行判斷．