【題目】點是拋物線：的焦點，動直線過點且與拋物線相交于，兩點.當直線變化時，的最小值為4.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）過點，分別作拋物線的切線，，與相交于點，，與軸分別交于點，，求證：與的面積之比為定值（為坐標原點）.

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）證明直線的斜率為時不合題意，當直線的斜率不為時，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元，用根與系數(shù)的關(guān)系得出兩點橫坐標的關(guān)系，利用焦點弦長計算公式求，利用二次函數(shù)的性質(zhì)得出的值，進而得出拋物線的方程；

（2）用兩點的坐標表示直線，的方程，再求點的橫坐標，根據(jù)三角形的面積公式求比值，即可得出結(jié)論.

（1）設(shè)，由已知得當直線的斜率為時，與有且只有一個交點，此時不合題意

設(shè)直線的方程為

聯(lián)立直線與拋物線的方程，并消去，得，則

顯然當時，取得最小值，則

故拋物線的標準方程為

（2）證明：不妨設(shè)

易得切線，將代入，整理得

進而可知

同理可得

聯(lián)立，消去，整理得到

即點的橫坐標為

故

故與的面積之比為定值

練習冊系列答案
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