如圖所示：已知過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)。

（1）求證：以AF為直徑的圓與x軸相切；
（2）設(shè)拋物線在A，B兩點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)為M，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2，求△ABM的外接圓方程；
（3）設(shè)過拋物線焦點(diǎn)F的直線與橢圓的交點(diǎn)為C、D，是否存在直線使得，若存在，求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由。
（1）根據(jù)題意只要證明∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切
（2）
（3）。

試題分析：（1）解法一（幾何法）設(shè)線段AF中點(diǎn)為，過作垂直于x軸，垂足為,則
 ，     2分
又∵，       3分
∴∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。     4分 
解法二（代數(shù)法）設(shè),線段AF中點(diǎn)為，過作垂直于x軸，
垂足為，則，
∴．      2分
又∵點(diǎn)為線段AF的中點(diǎn)，∴，     3分
∴，
∴以線段AF為直徑的圓與x軸相切。     4分

（2）設(shè)直線AB的方程為，，
由 ，
∴．     5分
由，
，      6分
，故的外接圓圓心為線段的中點(diǎn)。
設(shè)線段AB中點(diǎn)為點(diǎn)P，易證⊙P與拋物線的準(zhǔn)線相切，切點(diǎn)為點(diǎn)M ，
．  7分
 8分
又，
 ．     9分
（3），設(shè)，10分
則 ，設(shè)，則
       11分
將代入可得： ． ①     12分
由，
聯(lián)立可得，②     13分
聯(lián)立①②可得 ，解得．
。      14分
點(diǎn)評(píng)：主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，屬于中檔題。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為：（為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中,直線的極坐標(biāo)方程為：．
（Ⅰ）寫出曲線和直線在直角坐標(biāo)系下的方程；
（II）設(shè)點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線的距離的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

點(diǎn)是雙曲線與圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，其中分別為雙曲線C1的左右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（     ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（13分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（﹣1，0），F(xiàn)2（1，0），且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)．
（I）求橢圓C的離心率：
（II）設(shè)過點(diǎn)A（0，2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)Q的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：與橢圓共焦點(diǎn)，

（Ⅰ）求的值和拋物線C的準(zhǔn)線方程；
（Ⅱ）若P為拋物線C上位于軸下方的一點(diǎn)，直線是拋物線C在點(diǎn)P處的切線，問是否存在平行于的直線與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且使？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由.

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知直線與平面平行，P是直線上的一定點(diǎn)，平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)B滿足：PB與直線 成。那么B點(diǎn)軌跡是 (    )                          
A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．兩直線

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

已知拋物線的準(zhǔn)線過雙曲線的右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為     .

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

點(diǎn)到圖形上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)到圖形的距離，那么平面內(nèi)到定圓的距離與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（   ）
A．圓B．橢圓C．雙曲線的一支D．直線

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓：的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過作與軸垂直的直線與橢圓交于S、T兩點(diǎn)，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)，且．

（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案