Question

設(shè)f（x）=x|x-a|．
（1）當(dāng)a=2，f（x）在[0，1]上最大值．
（2）若不等式f（x）＜2對x∈[0，1]恒成立，求a的范圍；
（3）設(shè)a＞0，函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值，又有最小值，求m，n的取值范圍（用a表示）

Answer 1

考點：帶絕對值的函數(shù)

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）a=2，x∈[0，1]，f（x）=x|x-2|=x（2-x）=-（x-1）²+1，可得f（x）在[0，1]上最大值．
（2）若不等式f（x）＜2對x∈[0，1]恒成立，分類討論，分離參數(shù)，即可求a的范圍；
（3）設(shè)a＞0，函數(shù)在（-∞，a）上的最大值為f（

a

2

）=

a2

4

，利用函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值，又有最小值，即可求m，n的取值范圍．

解答： 解：（1）a=2，x∈[0，1]，f（x）=x|x-2|=x（2-x）=-（x-1）²+1．
∴x=1時，f（x）在[0，1]上最大值為1．
（2）f（x）＜2，x=0時，a∈R；
0＜x≤1時，x-

2

x

＜a＜x+

2

x

∵0＜x≤1時，x-

2

x

與x+

2

x

分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，
∴-1＜a＜3；
（3）a＞0，f（x）的圖象如圖所示，

函數(shù)在（-∞，a）上的最大值為f（

a

2

）=

a2

4

，
由

y= a2 4 y=x(x-a)

，得x=

1+ 2

2

a，
∵函數(shù)f（x）在（m，n）上既有最大值，又有最小值，
∴0≤m＜

a

2

，a＜n≤

1+ 2

2

a．

點評：本題考查帶絕對值的函數(shù)，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．