【題目】已知函數(shù)f(x)= sinωx+cosωx+c(ω>0,x∈R,c是常數(shù))圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)為( ,1),與其相鄰的最低點(diǎn)是( ,﹣3).
(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其對(duì)稱中心;
(2)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且 =﹣ ac,試求函數(shù)f(A)的取值范圍.
【答案】
(1)解:函數(shù)f(x)= sinωx+cosωx+c(ω>0,x∈R,c是常數(shù))
化簡(jiǎn)得:f(x)=2sin(ωx+ )+c;
∵2sin(ωx+ )∈[﹣1,1],即f(x)的最大值為2+c.
函數(shù)f(x)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)為縱坐標(biāo)為1,即最大值為1,
則有:2+c=1,解得:c=﹣1.
∵最高點(diǎn)為( ,1),與其相鄰的最低點(diǎn)為( ,﹣3).
∴ ,
解得:T=π,
∵T= ,
∴ω=2
故得:函數(shù)f(x)=2sin(2x+ )﹣1;
對(duì)稱中心:2x+ =kπ,(k∈Z)
解得:x= .
故得:函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心坐標(biāo)為( ,﹣1)(k∈Z)
(2)解:由(1)可得函數(shù)f(A)=2sin(2A+ )﹣1;
∵ =﹣ ac, ,
∴﹣accosB=﹣ ac,
可得:cosB= ,
故得:B= .
∴A∈(0, )
2A+ ∈( , ),
∴函數(shù)f(A)=2sin(2A+ )﹣1的值域(﹣3,1].
即函數(shù)f(A)的取值范圍是(﹣3,1]
【解析】(1)將函數(shù)f(x)化簡(jiǎn),圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)為( ,1),可得C的值,與其相鄰的最低點(diǎn)是( ,﹣3).可得周期.從而得到f(x)的解析式.根據(jù)三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)可得對(duì)稱中心;(2) =﹣ ac,利用夾角公式,可得cosB的值,即B的值,利用f(x)的解析式可求解.
【考點(diǎn)精析】掌握正弦函數(shù)的對(duì)稱性是解答本題的根本,需要知道正弦函數(shù)的對(duì)稱性:對(duì)稱中心;對(duì)稱軸.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某企業(yè)有兩個(gè)分廠生產(chǎn)某種零件,按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位:mm)的值落在[29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件中各抽出了500件,量其內(nèi)徑尺寸,得結(jié)果如下表:
甲廠:
分組 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
頻數(shù) | 12 | 63 | 86 | 182 | 92 | 61 | 4 |
乙廠:
分組 | [29.86,29.90) | [29.90,29.94) | [29.94,29.98) | [29.98,30.02) | [30.02,30.06) | [30.06,30.10) | [30.10,30.14) |
頻數(shù) | 29 | 71 | 85 | 159 | 76 | 62 | 18 |
(1)試分別估計(jì)兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率;
(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面列聯(lián)表,并問(wèn)是否有的把握認(rèn)為“兩個(gè)分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.
甲 廠 | 乙 廠 | 合計(jì) | |
優(yōu)質(zhì)品 | |||
非優(yōu)質(zhì)品 | |||
合計(jì) |
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若關(guān)于x的不等式|x+a|≤b的解集為[﹣6,2].
(1)求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若實(shí)數(shù)m,n滿足|am+n|< ,|m﹣bn|< ,求證:|n|< .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx+ax(a∈R).
(Ⅰ)當(dāng)a=0,求f(x)的最小值;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=f(x)+lnx在區(qū)間[1,+∞)上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)過(guò)點(diǎn)P(1,﹣3)恰好能作函數(shù)y=f(x)圖象的兩條切線,并且兩切線的傾斜角互補(bǔ),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓 的左右焦點(diǎn)分別為,直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn),且.
(I)求直線的方程;
(II)已知過(guò)右焦點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn),是否存在軸上一定點(diǎn),使?(為坐標(biāo)原點(diǎn))若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=|x2﹣1|+x2﹣kx.
(1)若k=2時(shí),求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及最小值;
(2)若f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,AD∥BC,AB⊥AD,AB⊥PA,BC=2AB=2AD=4BE,平面PAB⊥平面ABCD,
(Ⅰ)求證:平面PED⊥平面PAC;
(Ⅱ)若直線PE與平面PAC所成的角的正弦值為 ,求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(x-k)ex,
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為原點(diǎn),Ox軸為極軸,單位長(zhǎng)度不變,建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為:ρsin(θ+ )= ,曲線C的參數(shù)方程為:
(1)寫出直線l和曲線C的普通方程;
(2)若直線l和曲線C相交于A,B兩點(diǎn),定點(diǎn)P(﹣1,2),求線段|AB|和|PA||PB|的值.
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