Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=|x2﹣1|+x2﹣kx．
（1）若k=2時(shí)，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；
（2）若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：k=2時(shí)，f（x）= ，

當(dāng)x＜﹣1或x＞1時(shí)，y=2x2﹣2x﹣1=2（x﹣ ）2﹣ ，f（x）在（﹣∞，﹣1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；

當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，f（x）=1﹣2x單調(diào)遞減；

綜上，f（x）在（﹣∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增；

所以f（x）min=f（1）=﹣1

（2）解：f（x）= ，

當(dāng)﹣1≤x≤1時(shí)，1﹣kx≥0恒成立，令g（x）=1﹣kx，則 ，

解得：﹣1≤k≤1；

當(dāng)x＞1時(shí)，k≤2x﹣ 恒成立，y=2x﹣ 在（1，+∞）單調(diào)遞增，解得k≤1；

當(dāng)x＜1時(shí)，k≥2x﹣ 恒成立，同理解得k≥﹣1．

綜上，﹣1≤k≤1．

【解析】（1）若k=2時(shí)，f（x）= ，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及最小值；（2）若f（x）≥0恒成立，分﹣1≤x≤1、x＞1與x＜1三類討論，分別構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得k的取值范圍，最后取交集即可求得實(shí)數(shù)k的取值范圍．