如下圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(1)求證:AC⊥BC1;
(2)求證:AC1∥平面CDB1;
(3)求異面直線AC1與B1C所成角的余弦值.
(1)先證明AC⊥平面BCC1B1,再根據(jù)性質(zhì)即可證明
(2)先證明DE∥AC1,再根據(jù)線面平行的判定定理證明
(3)
解析試題分析:(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三邊長AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC⊥BC.又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面BCC1B1.
∵BC1?平面BCC1B,∴AC⊥BC1.
(2)設(shè)CB1與C1B的交點(diǎn)為E,連接DE,又四邊形BCC1B1為正方形.
∵D是AB的中點(diǎn),E是BC1的中點(diǎn),∴DE∥AC1.
∵DE?平面CDB1,AC1?平面CDB1,
∴AC1∥平面CDB1.
(3)∵DE∥AC1,∴∠CED為AC1與B1C所成的角.
在△CED中,ED=AC1=,CD=AB=,CE=CB1=2,
∴cos∠CED==.
∴異面直線AC1與B1C所成角的余弦值為.
考點(diǎn):本小題主要考查線線垂直、線面平行的判定和兩條異面直線所成的角的計(jì)算,考查學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評:解決此類問題,要準(zhǔn)確應(yīng)用相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理并注意相互轉(zhuǎn)化,求解兩條異面直線的夾角問題時,要注意夾角的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,已知正方形和矩形所在的平面互相垂直, 是線段的中點(diǎn)。
(1)證明:∥平面
(2)求異面直線與所成的角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面是矩形,側(cè)棱⊥底面,,是的中點(diǎn),為的中點(diǎn).
(1)證明:平面
(2)若為直線上任意一點(diǎn),求幾何體的體積;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(理科)(本小題滿分12分)如圖分別是正三棱臺ABC-A1B1C1的直觀圖和正視圖,O,O1分別是上下底面的中心,E是BC中點(diǎn).
(1)求正三棱臺ABC-A1B1C1的體積;
(2)求平面EA1B1與平面A1B1C1的夾角的余弦;
(3)若P是棱A1C1上一點(diǎn),求CP+PB1的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖所示,在四棱錐中,底面為矩
形,⊥平面,,為上的點(diǎn),若⊥平面
(1)求證:為的中點(diǎn);
(2)求二面角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,底面△為正三角形的直三棱柱中,,,是的中點(diǎn),點(diǎn)在平面內(nèi),.
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:∥平面;
(Ⅲ)求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
本題共有2個小題,第(1)小題滿分6分,第(2)小題滿分6分.
如圖,已知正四棱柱的底面邊長是,體積是,分別是棱、的中點(diǎn).
(1)求直線與平面所成的角(結(jié)果用反三角函數(shù)表示);
(2)求過的平面與該正四棱柱所截得的多面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知四棱柱的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱垂直底邊ABCD四棱柱,,
E是側(cè)棱AA1的中點(diǎn),求
(1)求異面直線與B1E所成角的大。
(2)求四面體的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,正方形與梯形所在的平面互相垂直,,∥,,點(diǎn)在線段上.
(I)當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時,求證:∥平面;
(II)當(dāng)平面與平面所成銳二面角的余弦值為時,求三棱錐 的體積.
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