Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)A，B橢圓C上任意兩點(diǎn)，滿足OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），
（�。┰嚺袛嘣�點(diǎn)O到直線AB的距離是否為定值；若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由？
（ⅱ）點(diǎn)P是以橢圓C的長(zhǎng)軸為直徑的圓上任意一點(diǎn)，求△PAB的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出

c a = 3 2 a=2

，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）（�。┊�(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 5

5

．當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識(shí)求得m2=

4

5

(1+k2)，由此利用點(diǎn)到直線距離公式能求出原點(diǎn)O到直線AB的距離．
（ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)|AB|=

4 5

5

，當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，|AB|最大值為

5

，由此能求出S_△PAB的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，
短軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2，
∴

c a = 3 2 a=2

，解得a=2，c=

3

，
∴b²=a²-c²=4-3=1，
∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x=±

2 5

5

，
原點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 5

5

．…（5分）
當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

x2 4 +y2=1 y=kx+m

，得：（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
△=16（1+4k²-m²）＞0，
x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，…（7分）
由

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

5m2-4-4k2

1+4k2

=0，
得m2=

4

5

(1+k2)，…（8分）
∴原點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|m|

k2+1

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

2 5

5

．
綜上所述，原點(diǎn)O到直線AB的距離為

2 5

5

．…（9分）
（ⅱ）當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)|AB|=

4 5

5

當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，
|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2

=

4

5

1+ 9k2 16k4+8k2+1

…（11分）
當(dāng)k≠0時(shí)，|AB|=

4

5

1+ 9 16k2+ 1 k2 +8

≤

5

，當(dāng)k=±

1

2

時(shí)等號(hào)成立．
當(dāng)k=0時(shí)，|AB|=

4 5

5

．
∴|AB|最大值為

5

．…（13分）
由（ⅰ）知：點(diǎn)P到直線AB的距離最大值為

2 5

5

+2，…（14分）
∴S_△PAB的最大值為1+

5

．…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查點(diǎn)到直線的距離是否為定值的判斷與求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．