Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，PA=PB=PC=

3

，點O是BC中點，點M是PD的中點．

（Ⅰ）求證：PB∥平面AMC；
（Ⅱ）證明：PO⊥平面ABCD．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（I）連結(jié)BD，設(shè)BD∩AC=N，利用三角形中位線的性質(zhì)，可得PB∥MN，進而由線面平行的判定定理得到答案．
（II）證明PO⊥平面ABCD，只需證明PO垂直于平面ABCD中的兩條相交直線即可．

解答： 證明：（Ⅰ）連結(jié)BD，設(shè)BD∩AC=N，
∵底面ABCD為平行四邊形，
∴N是BD的中點，
又點M是PD的中點，
∴PB∥MN，
∵MN?平面AMC，PB?平面AMC，
∴PB∥平面AMC；…6分
（Ⅱ）∵PB=PC，點O是BC中點，
∴PO⊥BC，
連結(jié)AO，在△AOB中，AB=2，BO=

1

2

BC=

2

，∠ABC=45°，
∴AO=

AB2+BO2-2AB•BOcos45°

=

2

．
∵PB=PC，點O是BC中點，
∴PO⊥BC，
在△POB和△POA中，PA=PB，AO=BO，PO=PO，
∴△POB≌△POA，
∴PO⊥OA，BO∩AO=O，AO?平面ABCD，BO?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD．                                         …13分．

點評：本題考查的知識點是線面平行的判定，線面垂直的判定，熟練掌握線線、線面、面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．