Question

（2007•閘北區(qū)一模）已知集合A是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f（x）的全體：存在非零常數(shù)k，對任意x∈D（D為函數(shù)的定義域）等式f(kx)=

k

2

+f(x)恒成立．
（1）一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）是否屬于集合A？請說明理由．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=log_ax（a＞1）的圖象與直線y=

1

2

x有公共點，試證明f（x）=log_ax∈A．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（kx）=

k

2

+f（x）不可能恒成立，可得一次函數(shù)f（x）不屬于集合A．
（2）要使f（x）∈A，則存在常數(shù)k，使方程 log_ak=

1

2

k 有解．而由題意可得方程 log_ak=

1

2

k 有解，從而可得f（x）=log_ax∈A．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0），∴f（kx）=akx+b，而

k

2

+f（x）=ax+b+

k

2

．
顯然，akx+b和 ax+b+

k

2

不可能恒成立，故一次函數(shù)f（x）=ax+b（a≠0）不屬于集合A．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=log_ax（a＞1）的圖象與直線y=

1

2

x有公共點，∴方程 log_ax=

1

2

x 有解 ①．
要使f（x）∈A，則存在常數(shù)k，使log_a（kx）=

k

2

+log_ax 成立，即方程 log_ak=

1

2

k 有解．
而由①可得方程 log_ak=

1

2

k 有解，可得f（x）=log_ax∈A．

點評：本題主要考查函數(shù)的恒成立問題，方程根的存在性和個數(shù)判斷，屬于中檔題．