Question

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）已知， ， 均為正實(shí)數(shù)，且，求證 .

Answer 1

【答案】(1) (2) (3)見解析

【解析】試題分析：1）求導(dǎo)函數(shù)，可得切線的斜率，求出切點(diǎn)的坐標(biāo)，可得函數(shù)y=f（x）的圖象在x=0處的切線方程；

（2）先確定﹣1≤a＜0，再根據(jù)函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，構(gòu)造=（x+1）ln（x+1）﹣x，證明h（x）在（0，1）上的值域?yàn)椋?/span>0，2ln2﹣1），即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（3）由（2）知，當(dāng)a=﹣1時(shí)， 在（0，1）上單調(diào)遞增，證明 ，即 從而可得結(jié)論．

試題解析：

（1）當(dāng)時(shí)， 則，

則，

∴函數(shù)的圖象在時(shí)的切線方程為.

（2）∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上無解，

當(dāng)時(shí)， 在上無解滿足，

當(dāng)時(shí)，只需，∴①

，

∵函數(shù)在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，

即在上恒成立.

設(shè) ，

∵，∴，則在上單調(diào)遞增，

∴在上的值域?yàn)?/span>.

∴在上恒成立，則②

綜合①②得實(shí)數(shù)的取值范圍為.

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

于是當(dāng)時(shí)， ，

當(dāng)時(shí)， ，

∴ ，即 ，

同理有 ， ，

三式相加得 .