已知橢圓C:的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形,直線與以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程.
(2)設(shè)為橢圓上一點(diǎn),若過點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)和,且滿足(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),求實(shí)數(shù)的取值范圍
(1) ;(2).
【解析】
試題分析:(1)由題意可得圓的方程為,圓心到直線的距離;
根據(jù)橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得,即可得到所求橢圓方程.
(2)由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,設(shè)
將直線方程代入橢圓方程得:
根據(jù)得到;
設(shè),應(yīng)用韋達(dá)定理.
討論當(dāng)k=0,的情況,確定的不等式.
試題解析:(1)由題意:以橢圓C的右焦點(diǎn)為圓心,以橢圓的長半軸長為半徑的圓的方程為,
∴圓心到直線的距離
∵橢圓的兩焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形, b=c, 代入*式得 ∴
故所求橢圓方程為 4分
(2)由題意知直線的斜率存在,設(shè)直線方程為,設(shè)
將直線方程代入橢圓方程得: 6分
∴
∴
設(shè),則 8分
當(dāng)k=0時(shí),直線l的方程為y=0,此時(shí)t=0,成立,故,t=0符合題意。
當(dāng)時(shí)
得
∴ 10分
將上式代入橢圓方程得:
整理得:
由知
所以 12分
考點(diǎn):1.橢圓的方程及其幾何性質(zhì);2.直線與橢圓的位置關(guān)系;3.直線與圓的位置關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省八校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù) ,其中a∈R,
(Ⅰ)若a=0,求函數(shù)f(x)的定義域和極值;
(Ⅱ)當(dāng)a=1時(shí),試確定函數(shù) 的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省原名校高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
某程序框圖如圖所示,則輸出的n值是( )
A.21 B 22 C.23 D.24
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省原名校高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
己知e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),函數(shù)的零點(diǎn)為a,函數(shù)g(x)=lnx+x-2的零點(diǎn)為b,則下列不等式中成立的( )
A, B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河南省原名校高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
下列命題中正確的是( )
A.命題“,使得”的否定是“,均有”;
B.命題“若,則x=y”的逆否命題是真命題:
C.命題”若x=3,則”的否命題是“若,則”;
D.命題“存在四邊相等的四邊形不是正方形”是假命題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省邯鄲市高三上學(xué)期摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如果定義在R上的函數(shù)對(duì)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)都有
,則稱函數(shù)為“函數(shù)”給出函數(shù):, 。
以上函數(shù)為“函數(shù)”的序號(hào)為
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省邯鄲市高三上學(xué)期摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè),其中滿足,若的最大值為6,則的最小值為( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆河北省石家莊市五校聯(lián)合體高三上學(xué)期第一次月考理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知數(shù)列滿足
(1)求的值;
(2)是否存在一個(gè)實(shí)常數(shù),使得數(shù)列為等差數(shù)列,請(qǐng)說明理由.
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