Question

【題目】已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，，

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）若對，都有，求實數(shù)a的取值范圍；

（3）當時，將數(shù)列中的部分項按原來的順序構(gòu)成數(shù)列且證明：存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）的取值范圍為

（3）證明見解析

【解析】

（1）直接利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列的通項公式；

（2）利用（1）的結(jié)論，進一步求出數(shù)列的前項和，從而可求出的取值范圍；

（3）利用定義進行證明，再利用分類討論思想求出結(jié)果.

解：（1）當時，，解得,

當時，由得，,

所以,

,

因為,

所以,

所以，,

所以;

（2）當為奇數(shù)時，,

由，得恒成立,

令，則,

所以,

當為偶數(shù)時，,

由，得恒成立,

所以,

因為,

所以的取值范圍為.

（3）證明：當時，若為奇數(shù)，則，

令等比數(shù)列的公比，則，

設(shè)，

因為，

所以

,

因為為正整數(shù)，

所以數(shù)列是數(shù)列中包含的無窮等比數(shù)列，

因為公比有無數(shù)個不同的取值，對應著不同的等比數(shù)列，

因此無窮等比數(shù)列有無數(shù)個.