Question

（本小題滿分14分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足,且,其中.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,令,其中,試比較與的大小,并加以證明.

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）

（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144503421557.gif" style="vertical-align:middle;" />,即………2分
又,所以有,所以…………3分
所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由得,解得……4分
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為…………5分
（Ⅱ）因，………6分，所以
即數(shù)列是首項(xiàng)為,公比是的等比數(shù)列，所以…………7分
則，又
………9分
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
猜想：（）…………10分，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明
①當(dāng)時(shí)，,上面不等式顯然成立；………11分
②假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立…………12分
當(dāng)時(shí)，………13分
綜上①②對(duì)任意的均有
又，所以對(duì)任意的均有…………14分
證明二：(Ⅱ) 因，………6分，所以
即數(shù)列是首項(xiàng)為,公比是的等比數(shù)列，所以…………7分
則，又
………9分
當(dāng)時(shí)，………10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823144505246955.gif" style="vertical-align:middle;" />………12分
∵，∴………13分
，即對(duì)任意的均有………14分