Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知定點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸的非正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，滿足，A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為M，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程；

（2）已知點(diǎn)，動(dòng)直線與C相交于P，Q兩點(diǎn)，求過G，P，Q三點(diǎn)的圓在直線上截得的弦長(zhǎng)的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A在x軸的非正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，再由 ， ，得到a，b的關(guān)系式，然后由A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為M，得到，利用代入法化簡(jiǎn)求解.

（2）由拋物線與直線相交，設(shè)，根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱，得到過G，P，Q三點(diǎn)的圓的圓心在x軸上，設(shè)圓心為，由，運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式求得圓的方程，令，得到圓E在直線上截得的弦長(zhǎng)，再結(jié)合基本不等式求最小值.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸的非正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在y軸上運(yùn)動(dòng)，

所以設(shè)，

因?yàn)?/span> ， ，

所以，

因?yàn)?/span>A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為M，

所以 ，

即 ，

代入式得，

所以曲線C的方程是.

（2）由（1）知拋物線的方程為，

直線與拋物線方程聯(lián)立解得，，

設(shè)，

因?yàn)?/span>關(guān)于軸對(duì)稱，所以過G，P，Q三點(diǎn)的圓的圓心在x軸上，

設(shè)圓心為，

所以，即，

解得，

所以圓E的方程為，

令，的，

所以圓E在直線上截得的弦長(zhǎng)為，

因?yàn)?/span>，

所以，

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，

所以當(dāng)時(shí)，圓E在直線上截得的弦長(zhǎng)的最小值為.