Question

【題目】對于兩個定義域相同的函數(shù)f（x），g（x），若存在實數(shù)m、n使h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數(shù)h（x）是由“基函數(shù)f（x），g（x）”生成的．
（1）若f（x）=x2+3x和個g（x）=3x+4生成一個偶函數(shù)h（x），求h（2）的值；
（2）若h（x）=2x2+3x﹣1由函數(shù)f（x）=x2+ax，g（x）=x+b（a、b∈R且ab≠0）生成，求a+2b的取值范圍；
（3）利用“基函數(shù)f（x）=log4（4x+1），g（x）=x﹣1”生成一個函數(shù)h（x），使之滿足下列件：①是偶函數(shù)；②有最小值1；求函數(shù)h（x）的解析式并進一步研究該函數(shù)的單調(diào)性（無需證明）．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)h（x）=m（x2+3x）+n（3x+4）=mx2+3（m+n）x+4n，

∵h（x）是偶函數(shù)，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；

（2）解：設(shè)h（x）=2x2+3x﹣1=m（x2+ax）+n（x+b）=mx2+（am+n）x+nb

∴ 得

∴a+2b= ﹣ = ﹣ ﹣

由ab≠0知，n≠3，

∴a+2b∈

（3）解：設(shè)h（x）=mlog4（4x+1）+n（x﹣1）

∵h（x）是偶函數(shù)，∴h（﹣x）﹣h（x）=0，

即mlog4（4﹣x+1）+n（﹣x﹣1）﹣mlog4（4x+1）﹣n（x﹣1）=0

∴（m+2n）x=0得m=﹣2n

則h（x）=﹣2nlog4（4x+1）+n（x﹣1）=﹣2n[log4（4x+1）﹣ ]=﹣2n[log4（2x+ ）+ ]

∵h（x）有最小值1，則必有n＜0，且有﹣2n=1∴m=1．n=

∴h（x）=log4（2x+ ）+

h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，在（﹣∞，0]上是減函數(shù)．

【解析】（1）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)h（x），再根據(jù)其是偶函數(shù)這一性質(zhì)得到引入?yún)��?shù)的方程，求出參數(shù)的值，即得函數(shù)的解析式，代入自變量求值即可．（2）先用待定系數(shù)法表示出偶函數(shù)h（x），再根據(jù)同一性建立引入?yún)��?shù)的方程求參數(shù)，然后再求a+2b的取值范圍；（3）先用待定系數(shù)法表示出函數(shù)h（x），再根據(jù)函數(shù)h（x）的性質(zhì)求出相關(guān)的參數(shù)，代入解析式，由解析研究出其單調(diào)性即可
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性與單調(diào)性的綜合的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增，和單調(diào)不減兩種；奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．