【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點、的“切比雪夫距離”,又設(shè)點及上任意一點,稱的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”,記作,給出四個命題,正確的是________.
①對任意三點、、,都有;
② 到原點的“切比雪夫距離”等于的點的軌跡是正方形;
③ 已知點和直線,則;
④ 定點、,動點滿足,則點的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有個公共點.
【答案】①②③④
【解析】
①討論、、三點共線,以及不共線的情況,結(jié)合圖象和新定義,即可判斷;
②運用新定義,求得點的軌跡方程,即可判斷;
③設(shè)點是直線上一點,且點,可得,討論和的大小,可得距離,再由函數(shù)的性質(zhì),可得最小值;
④討論點在坐標(biāo)軸上和各個象限的情況,求得軌跡方程,即可判斷.
①對任意三點、、,若它們共線,設(shè)、、,
如下圖,結(jié)合三角形相似可得或,或,或,則;
若、或、對調(diào),可得;
若、、不共線,且中為銳角或鈍角,由矩形或矩形,
;
則對任意的三點、、,都有,命題①正確;
②到原點的“切比雪夫距離”等于的點,即為,若,則;
若,則,故所求軌跡是正方形,命題②正確;
③設(shè)點是直線上一點,且,可得,
由,解得,即有.
當(dāng)時,取得最小值;
由,解得或,即有,
的取值范圍是,無最值,
所以,、兩點的“切比雪夫距離”的最小值為,命題③正確;
④定點、,動點,滿足,
可得不在上,在線段間成立,可得,解得.
由對稱性可得也成立,即有兩點滿足條件;
若在第一象限內(nèi),滿足,即為,為射線,
由對稱性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一條射線,
則點的軌跡與直線(為常數(shù))有且僅有個公共點,命題④正確.
故答案為:①②③④.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,,,O為AC的中點.
(1)證明:平面ABC;
(2)若點M在棱BC上,且,求點C到平面POM的距離.
(3)若點M在棱BC上,且二面角為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司為了解廣告投入對銷售收益的影響,在若干地區(qū)各投入萬元廣告費用,并將各地的銷售收益繪制成頻率分布直方圖(如圖所示).由于工作人員操作失誤,橫軸的數(shù)據(jù)丟失,但可以確定橫軸是從開始計數(shù)的. [附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為.]
(1)根據(jù)頻率分布直方圖計算圖中各小長方形的寬度;
(2)試估計該公司投入萬元廣告費用之后,對應(yīng)銷售收益的平均值(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值);
(3)該公司按照類似的研究方法,測得另外一些數(shù)據(jù),并整理得到下表:
廣告投入 (單位:萬元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷售收益 (單位:萬元) | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的數(shù)據(jù)顯示, 與之間存在著線性相關(guān)關(guān)系,請將(2)的結(jié)果填入空白欄,并求出關(guān)于的回歸直線方程.
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【題目】設(shè)為等差數(shù)列的公差,數(shù)列的前項和,滿足(),且,若實數(shù)(,),則稱具有性質(zhì).
(1)請判斷、是否具有性質(zhì),并說明理由;
(2)設(shè)為數(shù)列的前項和,若是單調(diào)遞增數(shù)列,求證:對任意的(,),實數(shù)都不具有性質(zhì);
(3)設(shè)是數(shù)列的前項和,若對任意的,都具有性質(zhì),求所有滿足條件的的值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,,,動點滿足:直線與直線的斜率之積恒為,記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)若點位于第一象限,過點,分別作直線,直線,直線,交于點.
①若點的橫坐標(biāo)為-1,求點的坐標(biāo);
②直線與曲線交于點,且,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時,證明:在區(qū)間上是增函數(shù);
(2)當(dāng),函數(shù)的零點個數(shù),并說明理由;
(3)求函數(shù)的對稱中心,并說明理由.
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【題目】對于函數(shù),有下列五個命題:
①若存在反函數(shù),且與反函數(shù)圖象有公共點,則公共點一定在直線上;
②若在上有定義,則一定是偶函數(shù);
③若是偶函數(shù),且有解,則解的個數(shù)一定是偶數(shù);
④若是函數(shù)的周期,則,也是函數(shù)的周期;
⑤是函數(shù)為奇函數(shù)的充分不必要條件。
從中任意抽取一個,恰好是真命題的概率為 ( )
A.B.C.D.
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【題目】已知函數(shù),實數(shù)滿足;
(1)當(dāng)函數(shù)的定義域為時,求的值域;
(2)求函數(shù)關(guān)系式,并求函數(shù)的定義域;
(3)在(2)的結(jié)論中,對任意,都存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍;
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