Question

在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知四點A（

2

，

3

），B（-2，0），C（

6

，1），D（-

2

，-

3

）中有且只有三點在橢圓E： 

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若P是圓x²+y²=12上的一個動點，過動點P作直線l₁、l₂，使得l₁、l₂與橢圓E都相切，求證：l₁⊥l₂．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由橢圓的對稱性知

2

a2

+

3

b2

=1，點C(

6

， 1)在橢圓上，則

6

a2

+

1

b2

=1，由此能求出橢圓E的方程．
（2）當(dāng)l₁，l₂中有一條直線的斜率不存在時，l₁⊥l₂；當(dāng)l₁，l₂的斜率都存在時，設(shè)點P（x₀，y₀），有x02+y02=12．設(shè)經(jīng)過點P（x₀，y₀）與橢圓相切的直線為y=t（x-x₀）+y₀，由

y=t(x-x0)+y0 x2 8 + y2 4 =1

，得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0，由此結(jié)合題設(shè)條件能證明l₁⊥l₂．

解答： （本小題13分）
解：（1）由橢圓的對稱性可知，點A (

2

， 

3

)，D(-

2

， -

3

)必在橢圓E上，
即

2

a2

+

3

b2

=1①…（2分）
若點B（-2，0），在橢圓上，則a=2，b=

6

，這與題意a＞b＞0不符，
故點C(

6

， 1)在橢圓上，則

6

a2

+

1

b2

=1②
聯(lián)立①②解得a²=8，b²=4，
所以，橢圓E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．…（5分）
（2）①當(dāng)l₁，l₂中有一條直線的斜率不存在時，
不妨設(shè)l₁的斜率不存在，
因為l₁與橢圓相切，則其方程為x=±2

2

，
當(dāng)l₁的方程為x=2

2

時，
此時l₁與圓x²+y²=12交于點(2

2

，2)，(2

2

，-2)，
則l₂為y=2或y=-2，顯然l₁⊥l₂；
同理可證直線l₁的方程為x=-2

2

時，l₁⊥l₂．         　 …（8分）
②當(dāng)l₁，l₂的斜率都存在時，設(shè)點P（x₀，y₀），有x02+y02=12．
設(shè)經(jīng)過點P（x₀，y₀）與橢圓相切的直線為y=t（x-x₀）+y₀，
由

y=t(x-x0)+y0 x2 8 + y2 4 =1

消去y，得(1+2t2)x2+4t(y0-tx0)x+2(y0-tx0)2-8=0
由△=0化簡整理得，(8-x02)t2+2x0y0t+4-y02=0．
因為x02+y02=12，
所以有(8-x02)t2+2x0y0t+(x02-8)=0．…（11分）
設(shè)直線l₁，l₂的斜率分別為t₁，t₂，
因為l₁，l₂與橢圓都相切，
所以t₁，t₂滿足方程(8-x02)t2+2x0y0t+(x02-8)=0，
所以t₁•t₂=-1，即l₁⊥l₂．
綜合①②知，l₁⊥l₂．…（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩直線垂直的證明，解題時要認真審題，注意分類討論思想的合理運用．