Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，且過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直與軸，點(diǎn)是橢圓上異于的任意一點(diǎn)，直線交于點(diǎn).

①設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；

②設(shè)過(guò)點(diǎn)垂直于的直線為 ，求證：直線過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2），.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)條件列方程組，解得，（2）①設(shè)，則可由直線交點(diǎn)得，再根據(jù)斜率公式化簡(jiǎn)，最后利用點(diǎn)P在橢圓上得定值；②先探求定點(diǎn)為，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，最后令y=0解得x=-1.

試題解析：（1）由題意橢圓的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)，

所以，解得，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）①設(shè)，則直線的方程為，

令得，因?yàn)?/span>，因?yàn)?/span>，

所以，因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，

所以為定值，

②直線的斜率為，直線的斜率為，

則直線的方程為，

所以直線過(guò)定點(diǎn).