【題目】已知函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）若對任意的，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先對原函數(shù)求導(dǎo)，得到，再分類討論即可得到單調(diào)性與極值，從而判斷出導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）設(shè)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值即可.

（1）解法一：由題得

∴

當(dāng)時， 是減函數(shù)

且

，

∴此時有且只有一個零點

當(dāng)時，，此時沒有零點

當(dāng)時

+

0

-

↗

極大值

↘

∴

（�。┤� 則此時，函數(shù)沒有零點

（ⅱ）若則

此時，函數(shù)有且只有一個零點

（ⅲ）若 則

且，下面證明存在使

①取

下面證明，

證明：設(shè) 則，

∴在上恒負(fù)

∴在上是減函數(shù)

∴在上，恒有

∴在上是減函數(shù)

∴ ，得證

或②取

下面證明，

證明：設(shè) 則

∴在上是減函數(shù)

∴ ，得證

∴此時，函數(shù)有且只有兩個零點

綜上，函數(shù)的零點個數(shù)

解法二 由題得

當(dāng)時，，此時沒有零點

當(dāng)時

導(dǎo)函數(shù)的零點個數(shù)等于函數(shù)與函數(shù)圖象的交點個數(shù)

設(shè) 則

當(dāng)時，；當(dāng)時，

∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

∴

又∵當(dāng)時，，當(dāng)時，（即，）

∴圖象如圖

∴當(dāng)即時，有1個交點；當(dāng)即/span>時，有2個交點；當(dāng)即

時，有1個交點；當(dāng)即時，沒有交點.

綜上，函數(shù)的零點個數(shù)

（2）設(shè)

∴

∴

題設(shè)成立的一個必要條件是即

當(dāng)時

，

∴在上單調(diào)遞減

又∵在處連續(xù)（連續(xù)性在解題過程中可不作要求，下面第三行同）

∴，

從而在上單調(diào)遞減

∴，

∴實數(shù)的取值范圍為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（2）（本小題滿分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直接坐標(biāo)系中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為.

（I）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標(biāo)為（4，），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；

（II）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在4件產(chǎn)品中，有一等品2件，二等品1件（一等品與二等品都是正品），次品1件，現(xiàn)從中任取2件，則下列說法正確的是（ ）

A.兩件都是一等品的概率是

B.兩件中有1件是次品的概率是

C.兩件都是正品的概率是

D.兩件中至少有1件是一等品的概率是

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】為抑制房價過快上漲和過度炒作，各地政府響應(yīng)中央號召，因地制宜出臺了系列房價調(diào)控政策．某市為擬定出臺“房產(chǎn)限購的年齡政策”.為了解人們對“房產(chǎn)限購年齡政策”的態(tài)度，對年齡在歲的人群中隨機調(diào)查100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“房產(chǎn)限購”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如下：

年齡

支持的人數(shù)

15

5

15

28

17

（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為以44歲為分界點的不同人群對“房產(chǎn)限購年齡政策”的支持度有差異；

44歲以下

44歲以上

總計

支持

不支持

總計

（2）若以44歲為分界點，從不支持“房產(chǎn)限購”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加政策聽證會．現(xiàn)從這8人中隨機抽2人．

①抽到1人是44歲以下時，求抽到的另一人是44歲以上的概率．

②記抽到44歲以上的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

參考數(shù)據(jù)：

，其中．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸,且與直角坐標(biāo)系長度單位相同的極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程是.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點.若直與曲線相交于兩點,求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率等于 .現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三個隨機數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果.經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了如下20組隨機數(shù)：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校為了了解學(xué)生使用手機的情況，分別在高一和高二兩個年級各隨機抽取了100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均使用手機時間的頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，將使用手機時間不低于80分鐘的學(xué)生稱為“手機迷”.

（I）將頻率視為概率，估計哪個年級的學(xué)生是“手機迷”的概率大？請說明理由.

（II）在高二的抽查中，已知隨機抽到的女生共有55名，其中10名為“手機迷”.根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你有多大的把握認(rèn)為“手機迷”與性別有關(guān)？

非手機迷

手機迷

合計

男

女

合計

附：隨機變量（其中為樣本總量）.

參考數(shù)據(jù)

0.15

0.10

0.05

0.025

2.072

2.706

3.841

5.024

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某公司培訓(xùn)員工某項技能，培訓(xùn)有如下兩種方式，方式一：周一到周五每天培訓(xùn)1小時，周日測試；方式二：周六一天培訓(xùn)4小時，周日測試．公司有多個班組，每個班組60人，現(xiàn)任選兩組(記為甲組、乙組)先培訓(xùn)，甲組選方式一，乙組選方式二，并記錄每周培訓(xùn)后測試達(dá)標(biāo)的人數(shù)如下表，其中第一、二周達(dá)標(biāo)的員工評為優(yōu)秀．

第一周

第二周

第三周

第四周

甲組

20

25

10

5

乙組

8

16

20

16

（1）在甲組內(nèi)任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率；

（2）每個員工技能測試是否達(dá)標(biāo)相互獨立，以頻率作為概率.

（i）設(shè)公司員工在方式一、二下的受訓(xùn)時間分別為、，求、的分布列，若選平均受訓(xùn)時間少的，則公司應(yīng)選哪種培訓(xùn)方式？

（ii）按（i）中所選方式從公司任選兩人，求恰有一人優(yōu)秀的概率．

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