Question

【題目】

已知函數(shù)，．

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求的值；

（2）若存在極小值時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，如果存在兩個(gè)不相等的正數(shù)，使得，求證：．

請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答．注意：只能做所選定的題目.如果多做，則按所做的第一個(gè)題目計(jì)分．

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】（1）由題可得，

依題意，即，解得．（2分）

（2）由（1）知，

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，無(wú)極值；

當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以函數(shù)的極小值為．（4分）

當(dāng)時(shí)，，即，即恒成立．（5分）

令，則，

令，得，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故為在上唯一的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，

所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．（7分）

（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

設(shè)，則一定有．（8分）

構(gòu)造函數(shù)，．（9分）

則．

因?yàn)?/span>，所以，即在上單調(diào)遞減，

所以，所以．（10分）

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以．（12分）