【題目】已知函數(shù)f(x)= x3﹣2ax2+3x(x∈R).
(1)若a=1,點P為曲線y=f(x)上的一個動點,求以點P為切點的切線斜率取最小值時的切線方程;
(2)若函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù),試求滿足條件的最大整數(shù)a.

【答案】
(1)解:設(shè)切線的斜率為k,則k=f′(x)=2x2﹣4x+3=2(x﹣1)2+1,當(dāng)x=1時,kmin=1.

把a=1代入到f(x)中得:f(x)= x3﹣2x2+3x,所以f(1)= ﹣2+3= ,即切點坐標為(1,

∴所求切線的方程為y﹣ =x﹣1,即3x﹣3y+2=0


(2)解:f′(x)=2x2﹣4ax+3,因為y=f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),則對任意的x∈(0,+∞),恒有f′(x)>0,

f′(x)=2x2﹣4ax+3>0,

∴a< = + ,而 + ,當(dāng)且僅當(dāng)x= 時,等號成立.

所以a< ,則所求滿足條件的最大整數(shù)a值為1


【解析】(1)設(shè)出切線的斜率k,得到k等于f′(x)并把a=1代入到f(x)中求出解析式,根據(jù)二次函數(shù)求最小值的方法,求出k的最小值,然后把x=1代入到f(x)中求出f(1)的值即可得到切點坐標,根據(jù)斜率和切點坐標寫出切線方程即可;(2)求出f′(x),要使f(x)為單調(diào)遞增函數(shù),必須滿足f'(x)>0,即對任意的x∈(0,+∞),恒有f′(x)大于0,解出a小于一個關(guān)系式,利用基本不等式求出這個關(guān)系式的最小值,得到關(guān)于a的不等式,求出解集即可得到a的取值范圍,在范圍中找出滿足條件的最大整數(shù)即可.
【考點精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的根本,需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】二次函數(shù)f(x)=ax2+2a是區(qū)間[﹣a,a2]上的偶函數(shù),又g(x)=f(x﹣1),則g(0),g( ),g(3)的大小關(guān)系是(
A.g( )<g(0)<g(3)
B.g(0)<g( )<g(3)??
C.g( )<g(3)<g(0)
D.g(3)<g( )<g(0)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點.

(1)證明:PB∥平面AEC;
(2)設(shè)AP=1,AD= ,三棱錐P﹣ABD的體積V= ,求A到平面PBC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】

已知函數(shù),

(1)若曲線在點處的切線與直線垂直,求的值;

(2)若存在極小值時,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)當(dāng)時,如果存在兩個不相等的正數(shù),使得,求證:

請考生在第22、23兩題中任選一題作答.注意:只能做所選定的題目.如果多做,則按所做的第一個題目計分.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】

如圖,甲向如圖1所示的平面區(qū)域內(nèi)隨機擲點、乙向如圖2所示的平面區(qū)域內(nèi)隨機擲點,假設(shè)點落在區(qū)域內(nèi)任意一點的可能性相同.已知圖1中小圓的半徑是大圓半徑的二分之一,圖2中小正方形的頂點為大正方形各邊的中點.

(1)甲、乙各擲點一次,求至少有一人擲點落在陰影區(qū)域的概率;

(2)甲、乙各擲點兩次,記點落在陰影區(qū)域的次數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2|x|﹣3a
(1)當(dāng)a=1時,在所給坐標系中,畫出函數(shù)f(x)的圖象,并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
(2)若直線y=1與函數(shù)f(x)的圖象有4個交點,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)處的切線的斜率為1.

(1)如果常數(shù),求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;

(2)對于,如果方程上有且只有一個解,求的值.

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【題目】已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(﹣x)=2﹣f(x),若函數(shù)y= 與y=f(x)圖象的交點為(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xm , ym),則 (xi+yi)=(
A.0
B.m
C.2m
D.4m

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知定義域為R的函數(shù)
(1)用定義證明:f(x)為R上的奇函數(shù);
(2)用定義證明:f(x)在R上為減函數(shù);
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.

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