Question

觀察下列不等式：
①

1

1×2

＜1；
②

1

1×2

+

1

2×3

＜

2

；
③

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

＜

3

；…
則第5個不等式為

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

＜

5

．

Answer 1

分析：逐一分析題目給出的前三個不等式的特點(diǎn)，尋找出共性：即第n個不等式左邊是n項(xiàng)的和，每一項(xiàng)的分子都為1，分母是根號內(nèi)相鄰兩個自然數(shù)的乘積，右邊為n的算術(shù)根．

解答：解：不等式①的左邊僅含一項(xiàng)，分子為1，分母是根號內(nèi)的前兩個正的自然數(shù)的乘積，右邊為1的算術(shù)根；
不等式②的左邊含有兩項(xiàng)，分子都為1，分母分別是根號內(nèi)第一、第二個正的自然數(shù)的積，根號內(nèi)第二、第三個正的自然數(shù)的積，右邊為2的算術(shù)根；
不等式③的左邊含有三項(xiàng)，分子都為1，分母分別是根號內(nèi)第一、第二個正的自然數(shù)的積，根號內(nèi)第二、第三個正的自然數(shù)的積，根號內(nèi)第三、第四個正的自然數(shù)的積，右邊為3的算術(shù)根；
類比以上不等式，得
第五個不等式的左邊含有五項(xiàng)，分子都為1，分母分別是根號內(nèi)第一、第二個正的自然數(shù)的積，根號內(nèi)第二、第三個正的自然數(shù)的積，根號內(nèi)第三、第四個正的自然數(shù)的積，根號內(nèi)第四、第五個正的自然數(shù)的積，根號內(nèi)第五、第六個正的自然數(shù)的積，右邊為5的算術(shù)根．
即：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

＜

5

．
故答案為：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

＜

5

．

點(diǎn)評：本題考查了類比推理，類比推理就是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理．此題是基礎(chǔ)題．