Question

觀察下列不等式：1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

，…由以上不等式推測(cè)到一個(gè)一般的結(jié)論：對(duì)于n∈N^*，1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

．

Answer 1

分析：由已知中的三個(gè)式子，我們分析每一個(gè)不等式右邊的變化趨勢(shì)，可以歸納出其通項(xiàng)為

2n-1

n

，由此即可得到結(jié)論．

解答：解：由已知中的不等式，1+

1

22

＜

3

2

，1+

1

22

+

1

32

＜

5

3

，1+

1

22

+

1

32

+

1

42

＜

7

4

…
我們可以得出不等式右邊分式的分子是正奇數(shù)3，5，7，…，分母是正整數(shù)2，3，4，…，從而推斷：
對(duì)于n∈N^*，1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜

2n-1

n

．
故答案為：

2n-1

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．